fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינדוקציה

שיטה שעוזרת להוכיח שתכונה מסוימת מתקיימת לכל המספרים הטבעיים (שלמים וחיוביים).

כשרוצים להוכיח בעזרת אינדוקציה, מראים את שני השלבים האלה:

  1. בסיס האינדוקציה: מראים שהמספר הטבעי הראשון (בדרך כלל, המספר 1) מקיים את התכונה המבוקשת.
  2. צעד האינדוקציה: מניחים שמספר טבעי n כלשהו מקיים את התכונה (שלב זה נקרא הנחת האינדוקציה), ובעזרת הנחה זו מוכיחים שגם n+1 מקיים אותה.

דוגמה

הוכיחו שמתקיים:

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

הוכחה

1. בסיס האינדוקציה: נראה שהשוויון מתקיים עבור n=1:

1=\frac{1\cdot(1+1)}{2}=1

2. נניח שמתקיים:

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

(זו הנחת האינדוקציה שלנו) ובעזרת הנחה זו נוכיח שמתקיים:

1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}

נתחיל מאגף שמאל וננסה להראות שהוא שווה לאגף ימין. נשים לב שבאגף שמאל, יש לנו ביטוי הזהה לביטוי בהנחה שלנו. נחליף ביניהם ונקבל:

1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=

נסדר ונקבל:

=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=

=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=

וזה שווה לביטוי שמופיע באגף ימין. 

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה