fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

אינדוקציה

שיטה שעוזרת להוכיח שתכונה מסוימת מתקיימת לכל המספרים הטבעיים (שלמים וחיוביים).

כשרוצים להוכיח בעזרת אינדוקציה, מראים את שני השלבים האלה:

  1. בסיס האינדוקציה: מראים שהמספר הטבעי הראשון (בדרך כלל, המספר 1) מקיים את התכונה המבוקשת.
  2. צעד האינדוקציה: מניחים שמספר טבעי n כלשהו מקיים את התכונה (שלב זה נקרא הנחת האינדוקציה), ובעזרת הנחה זו מוכיחים שגם n+1 מקיים אותה.

דוגמה

הוכיחו שמתקיים:

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

הוכחה

1. בסיס האינדוקציה: נראה שהשוויון מתקיים עבור n=1:

1=\frac{1\cdot(1+1)}{2}=1

2. נניח שמתקיים:

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

(זו הנחת האינדוקציה שלנו) ובעזרת הנחה זו נוכיח שמתקיים:

1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}

נתחיל מאגף שמאל וננסה להראות שהוא שווה לאגף ימין. נשים לב שבאגף שמאל, יש לנו ביטוי הזהה לביטוי בהנחה שלנו. נחליף ביניהם ונקבל:

1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=

נסדר ונקבל:

=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=

=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=

וזה שווה לביטוי שמופיע באגף ימין. 

מ.ש.ל.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לכל הפתרונות באתר?