תרגיל
נתון שהפונקציה:
z=\frac{y^2}{3x}+f(xy)
גזירה.
הוכיחו את המשוואה:
x^2z'_x-xyz'_y+y^2=0
פתרון מפורט
נגדיר:
u=xy
קיבלנו את הפונקציה:
z=\frac{y^2}{3x}+f(u)
ואת הפונקציה הפנימית:
u(x,y)=xy
נשתמש בכלל השרשרת, כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של z. נחשב את הנגזרת לפי x:
z'_x=\frac{y^2}{3}\cdot (-\frac{1}{x^2})+f'_u\cdot u'_x=
=-\frac{y^2}{3x^2}+f'_u\cdot y
נחשב את הנגזרת לפי y:
z'_y=\frac{1}{3x}\cdot 2y+f'_u\cdot u'_y=
=\frac{2y}{3x}+f'_u\cdot x
נציב את הנגזרות באגף שמאל של המשוואה שצריך להוכיח:
x^2z'_x-xyz'_y+y^2=
=x^2(-\frac{y^2}{3x^2}+yf'_u)-xy(\frac{2y}{3x}+xf'_u)+y^2=
=-\frac{y^2}{3}+x^2yf'_u-\frac{2y^2}{3}-x^2yf'_u+y^2=
=-\frac{y^2}{3}-\frac{2y^2}{3}+y^2=
=y^2(-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1)=
=y^2\cdot 0
= 0
קיבלנו אפס כנדרש.
מ.ש.ל.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
