fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב מסה – תרגיל 3924

תרגיל 

חשבו את המסה של ממברנה

D=\{(x,y)|y\leq 1, y\geq x^2 \}

אם צפיפות הממברנה היא

y=f(x,y)

תשובה סופית

m=\frac{4}{5}

פתרון

נשתמש בנוסחה לחישוב מסה בעזרת אינטגרל כפול:

m=\int\int_D y dx dy=

נמצא את גבולות האינטגרציה של התחום D. לשם כך, נשרטט את התחום:

תחום בין פרבולה לישר

התחום D מסומן בפסים ירוקים.

כעת, נמצא את גבולות האינטגרציה של האינטגרל:

=\int dx \int_D y dy=

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה, מתחילים מהאינטגרל הפנימי (הימני) ומעבירים ישר המקביל לציר של משתנה האינטגרציה. בתרגיל שלנו, האינטגרל הפנימי הוא לפי y, ולכן נעביר ישר המקביל לציר y. זה נראה כך:

תחום אינטגרציה בין פרבולה לישר

כעת, נבדוק לאיזה ערך y שווה כשנכנסים לתחום מלמטה ולאיזה ערך y שווה כשיוצאים מהתחום למעלה. אנו נכנסים לתחום בפרבולה, לכן נבודד את y במשוואת הפרבולה:

y=x^2

הביטוי שקיבלנו באגף השני יהיה גבול האינטגרציה התחתון. אנו יוצאים מהתחום במשוואת הישר y=1. לכן, גבול האינטגרציה העליון, יהיה 1. נוסיף את גבולות האינטגרציה שמצאנו לאינטגרל:

=\int dx \int_{x^2}^1 y dy=

נעבור למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים (של האינטגרל השמאלי), לפי x. שימו לב שגבולות חיצוניים חייבים להיות קבועים, ללא המשתנים x או y. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים, ניקח את הקטע הגדול ביותר בציר של משתנה האינטגרציה, החופף עם התחום D. בתרגיל שלנו, המשתנה הוא x, והקטע הגדול ביותר בציר x, שחופף עם התחום הוא הקטע:

(-1,1)

נוסיף את גבולות האינטגרציה לאינטגרל שלנו ונקבל:

=\int_{-1}^1 dx \int_{x^2}^1 y dy=

הערה: את הפונקציה שמים בחלק הפנימי ביותר. אפשר להפוך את הסדר – קודם dy ואז dx – ואז גבולות האינטגרציה ישתנו בהתאם.

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה y.

=\int_{-1}^1 [\frac{y^2}{2}]_{x^2}^1 dx=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

=\int_{-1}^1 (\frac{1^2}{2}-\frac{{(x^2)}^2}{2}) dx=

=\int_{-1}^1 (\frac{1}{2}-\frac{x^4}{2}) dx=

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד x. נפתור אותו:

= [\frac{1}{2}x-\frac{x^5}{2\cdot 5}]_{-1}^1=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1^5}{2\cdot 5}-(\frac{1}{2}\cdot (-1)-\frac{{(-1)}^5}{2\cdot 5})=

=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=

=1-\frac{2}{10}=\frac{4}{5}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה