כלל לופיטל

אם שתי הפונקציות

f(x), g(x)

מוגדרות וגזירות בסביבה מנוקבת של a, ומקיימות את התנאים:

1. שתיהן שואפות לאפס או שתיהן שואפות לפלוס/מינוס אינסוף כל אחת בנפרד, כלומר מקבלים בהצבה את מקרי אי-הוודאות:

\frac{0}{0}, \frac{\pm \infty}{\pm \infty}

2. בסביבה מתקיים:

g'(x)\neq 0

3. מתקיים:

\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L

אזי מתקיים

\lim _ { x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _ { x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L

הערות:

1. a יכול להיות  אינסופי.
2. שימו לב שגוזרים את הפונקציה במונה בנפרד ואת הפונקציה במכנה בנפרד (ולא בעזרת נגזרת של מנה).

הסבר: אפשר להשתמש בכלל לופיטל כאשר מתקיימים התנאים האלה:

1. המונה והמכנה הן פונקציות גזירות בסביבה נקובה של הנקודה.
2. הנגזרת של הפונקציה במכנה אינה מתאפסת בסביבה נקובה של הנקודה.

סביבה נקובה = סביבה קטנה סימטרית סביב הנקודה, ללא הנקודה עצמה.

איך להשתמש בכלל לופיטל במקרי אי-ודאות אחרים

1. את מקרי אי-הוודאות

0\cdot (\pm \infty)

אפשר להפוך למקרה אי-ודאות שמתאים לכלל לופיטל כך:

0\cdot \infty = \frac{0}{\frac{1}{\infty}}=\frac{0}{0}

או

0\cdot \infty = \frac{\infty}{\frac{1}{0}}=\frac{\infty}{\infty}

2. במקרה אי-ודאות

\infty - \infty

כדאי לבדוק אם אפשר לעשות מכנה משותף שייתן שבר אחד שנותן בהצבה את מקרי אי-הודאות של כלל לופיטל.

3. במקרי אי הוודאות

1^{\infty}, 0^0, {\infty}^0

אפשר להשתמש בנוסחה:

x=e^{\ln x}

וכך לקבל פונקציה מהצורה:

{f(x)}^{g(x)}=e^{\ln {f(x)}^{g(x)}}=

=e^{g(x)\ln f(x)}=

ואז מכניסים את הגבול לחזקה ומקבלים גבול עם מכפלה במקום עם חזקה:

e^{\lim _ { x \rightarrow a} {g(x)\ln f(x)}}

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים בכלל לופיטל

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.