כלל לופיטל

אם שתי הפונקציות

f(x), g(x)

מוגדרות וגזירות בסביבה מנוקבת של a, ומקיימות את התנאים:

  1. שתיהן שואפות לאפס או שתיהן שואפות לפלוס/מינוס אינסוף כל אחת בנפרד, כלומר מקבלים בהצבה את מקרי אי-הוודאות:

\frac{0}{0}, \frac{\pm \infty}{\pm \infty}

2. בסביבה מתקיים:

g'(x)\neq 0

3. מתקיים:

\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L

אזי מתקיים

\lim _ { x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _ { x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L

הערות:

  1. a יכול להיות  אינסופי.
  2. שימו לב שגוזרים את הפונקציה במונה בנפרד ואת הפונקציה במכנה בנפרד (ולא בעזרת נגזרת של מנה).

הסבר: אפשר להשתמש בכלל לופיטל כאשר מתקיימים התנאים האלה:

  1. המונה והמכנה הן פונקציות גזירות בסביבה נקובה של הנקודה.
  2. הנגזרת של הפונקציה במכנה אינה מתאפסת בסביבה נקובה של הנקודה.

סביבה נקובה = סביבה קטנה סימטרית סביב הנקודה, ללא הנקודה עצמה.

איך להשתמש בכלל לופיטל במקרי אי-ודאות אחרים

  1. את מקרי אי-הוודאות

0\cdot (\pm \infty)

אפשר להפוך למקרה אי-ודאות שמתאים לכלל לופיטל כך:

0\cdot \infty = \frac{0}{\frac{1}{\infty}}=\frac{0}{0}

או

0\cdot \infty = \frac{\infty}{\frac{1}{0}}=\frac{\infty}{\infty}

2. במקרה אי-ודאות

\infty - \infty

כדאי לבדוק אם אפשר לעשות מכנה משותף שייתן שבר אחד שנותן בהצבה את מקרי אי-הודאות של כלל לופיטל.

3. במקרי אי הוודאות

1^{\infty}, 0^0, {\infty}^0

אפשר להשתמש בנוסחה:

x=e^{\ln x}

וכך לקבל פונקציה מהצורה:

{f(x)}^{g(x)}=e^{\ln {f(x)}^{g(x)}}=

=e^{g(x)\ln f(x)}=

ואז מכניסים את הגבול לחזקה ומקבלים גבול עם מכפלה במקום עם חזקה:

e^{\lim _ { x \rightarrow a} {g(x)\ln f(x)}}

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים בכלל לופיטל

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

לפוסט הזה יש 2 תגובות

  1. גיא ראובן

    אני רוצה לשאול על העניין של לופיטל.
    אם המונה שואף לפלוס אינסוף והמכנה שואף למינוס אינסוף גם אפשר להשתמש בלופיטל? ולהפך
    או שחייב ששניהם ישאפו לפלוס אינסוף או שניהם למינוס אינסוף?

    1. Hedva Online

      כן, המונה והמכנה לא חייבים לשאוף יחד לאותו כיוון. מכיוון שאפשר להוציא קבוע מחוץ לגבול, אפשר להוציא מינוס אחד ולקבל שהמונה והמכנה שואפים שניהם לפלוס אינסוף.
      בהצלחה.

כתיבת תגובה