אם שתי הפונקציות
f(x), g(x)
מוגדרות וגזירות בסביבה מנוקבת של a, ומקיימות את התנאים:
- שתיהן שואפות לאפס או שתיהן שואפות לפלוס/מינוס אינסוף כל אחת בנפרד, כלומר מקבלים בהצבה את מקרי אי-הוודאות:
\frac{0}{0}, \frac{\pm \infty}{\pm \infty}
2. בסביבה מתקיים:
g'(x)\neq 0
3. מתקיים:
\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L
אזי מתקיים
\lim _ { x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _ { x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L
הערות:
- a יכול להיות אינסופי.
- שימו לב שגוזרים את הפונקציה במונה בנפרד ואת הפונקציה במכנה בנפרד (ולא בעזרת נגזרת של מנה).
הסבר: אפשר להשתמש בכלל לופיטל כאשר מתקיימים התנאים האלה:
- המונה והמכנה הן פונקציות גזירות בסביבה נקובה של הנקודה.
- הנגזרת של הפונקציה במכנה אינה מתאפסת בסביבה נקובה של הנקודה.
סביבה נקובה = סביבה קטנה סימטרית סביב הנקודה, ללא הנקודה עצמה.
איך להשתמש בכלל לופיטל במקרי אי-ודאות אחרים
- את מקרי אי-הוודאות
0\cdot (\pm \infty)
אפשר להפוך למקרה אי-ודאות שמתאים לכלל לופיטל כך:
0\cdot \infty = \frac{0}{\frac{1}{\infty}}=\frac{0}{0}
או
0\cdot \infty = \frac{\infty}{\frac{1}{0}}=\frac{\infty}{\infty}
2. במקרה אי-ודאות
\infty - \infty
כדאי לבדוק אם אפשר לעשות מכנה משותף שייתן שבר אחד שנותן בהצבה את מקרי אי-הודאות של כלל לופיטל.
3. במקרי אי הוודאות
1^{\infty}, 0^0, {\infty}^0
אפשר להשתמש בנוסחה:
x=e^{\ln x}
וכך לקבל פונקציה מהצורה:
{f(x)}^{g(x)}=e^{\ln {f(x)}^{g(x)}}=
=e^{g(x)\ln f(x)}=
ואז מכניסים את הגבול לחזקה ומקבלים גבול עם מכפלה במקום עם חזקה:
e^{\lim _ { x \rightarrow a} {g(x)\ln f(x)}}
לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים בכלל לופיטל
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂