משוואת מעגל

תוכן עניינים:

• הגדרת משוואת מעגל
• משוואת מעגל באי-שוויון
• משוואות של חצי מעגל

הגדרת משוואת מעגל

המשוואה:

{(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2

היא משוואת המעגל שמרכזו בנקודה

(a,b)

ורדיוסו r.

מכאן, r חיובי גדול מאפס.

המשמעות: כל הנקודות במישור XY שמקיימות את המשוואה הן נקודות על היקף המעגל.

כאשר מרכז המעגל בראשית, כלומר בנקודה (0,0), מקבלים שמשוואת המעגל היא

x^2+y^2=r^2

שוב, r הוא רדיוס המעגל. משוואת מעגל שמרכזו בראשית נקראת משוואת מעגל קנוני.

כאשר מרכז המעגל הוא בראשית ורדיוסו 1 מקבלים את המשוואה:

x^2+y^2=1

מעגל זה נקרא מעגל יחידה.

דוגמה

המשוואה:

{(x-1)}^2+{(y+2)}^2=2^2

מתארת את המעגל שרדיוסו 2 ומרכזו בנקודה

(1,-2)

כך נראה גרף המעגל:

דוגמה

משוואת המעגל:

x^2+y^2=1^2

מתארת את המעגל הקנוני שמרכזו בראשית ורדיוסו 1.

כך נראה גרף המעגל:

משוואת מעגל באי-שוויון

כאשר נתונה משוואת מעגל באי-שוויון, מקבלים תחום סופי או אינסופי במישור XY.

דוגמה

המשוואה:

x^2+y^2\leq 2^2

x^2+y^2\leq 4

כוללת משוואה ואי-שוויון:

x^2+y^2= 4

x^2+y^2<4

המשוואה הראשונה מתארת את היקף המעגל (כמו למעלה), והמשוואה השנייה מתארת את פנים המעגל. לכן, האי-שוויון

x^2+y^2\leq 4

מתאר את כל התחום של היקף המעגל והשטח שבתוך המעגל. כך זה נראה:

משוואת האי-שוויון:

x^2+y^2<4

מתארת רק את פנים המעגל, ללא ההיקף. כך התחום שלה נראה במישור XY:

כאן, התחום אינו כולל את היקף המעגל, אלא רק את השטח שבתוך המעגל.

באופן דומה, מקבלים שהאי-שוויון ההפוך:

x^2+y^2\geq 4

מתאר את התחום:

האי-שוויון מתאר את כל התחום האדום, שהוא היקף המעגל וגם כל השטח במישור XY שמחוץ למעגל. כאן, מתקבל תחום אינסופי.

והאי-שוויון ללא סימן שווה:

x^2+y^2> 4

מתאר את התחום:

האי-שוויון מתאר את כל התחום האדום, שהוא כל השטח במישור XY שמחוץ למעגל, בלי היקף המעגל. גם כאן, מתקבל תחום אינסופי.

משוואות של חצי מעגל

אם נבודד את המשתנה y במשוואת המעגל הקנוני נקבל:

x^2+y^2=r^2

y^2=r^2-x^2

y=\pm\sqrt{r^2-x^2}

קיבלנו שתי פונקציות:

y_1=\sqrt{r^2-x^2}

y_2=-\sqrt{r^2-x^2}

הפונקציה הראשונה תמיד חיובית, כי שורש תמיד גדול או שווה לאפס, והפונקציה השנייה תמיד שלילית.

דוגמה

עבור r=1 נקבל את משוואת המעגל הקנוני:

x^2+y^2=1

וכשנבודד את המשתנה y נקבל את הפונקציות:

y_1=\sqrt{1-x^2}

y_2=-\sqrt{1-x^2}

הנה הגרפים של הפונקציות:

הפונקציה הראשונה באדום – חצי מעגל חיובי, והפונקציה השנייה בירוק – חצי מעגל שלילי.

בדומה, אפשר לבודד את המשתנה x ולקבל:

x^2+y^2=r^2

x^2=r^2-y^2

x=\pm\sqrt{r^2-y^2}

קיבלנו שתי עקומות:

x_1=\sqrt{r^2-y^2}

x_2=-\sqrt{r^2-y^2}

כאן מקבלים שבעקומה הראשונה x תמיד חיובי, ובעקומה השנייה x תמיד שלילי.

וכך העקומות נראות:

העקומה הראשונה בסגול – בתחום שבו x חיובי, והעקומה השנייה בשחור – בתחום שבו x שלילי.

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂