משפט גאוס (משפט הדיברגנץ)
יהי V גוף חסום על ידי משטח S הסגור וחלק למקוטעין. יהי
\hat{n}
נורמל חיצוני ל-S. ויהי
\vec{F}=P\hat{i}+Q\hat{j}+R\hat{k}
שדה וקטורי גזיר ברציפות בסביבת V. אז מתקיים:
\oiint_S\vec{F}\cdot\hat{n}ds=\int\int\int_V div \vec{F} dxdydz
הערות:
- סימן העיגול על האינטגרל הכפול מציין שהאינטגרל על משטח סגור.
- לעיתים משתמשים בסימון dV אבל זה שקול ל-dxdydz, כלומר
dV= dxdydz
הסבר: משפט גאוס מקשר בין אינטגרל משטחי מסוג שני לאינטגרל משולש. המשפט בעצם אומר שאינטגרל משטחי מסוג שני על משטח סגור S שקול לאינטגרל משולש על הגוף החסום V. לכן, כאשר מבקשים לחשב אינטגרל משטחי על משטח סגור כגון:
\oiint_S\vec{F}\cdot\hat{n}dS
נוכל במקום זאת לחשב אינטגרל משולש על הגוף שחסום ע”י S, כלומר:
\int\int\int_V div \vec{F} dxdydz
גבולות האינטגרל המשולש יהיו גבולות הגוף V במרחב.
טיפ: אם הגעתם לאינטגרל משולש ללא פונקציה בפנים, זה שקול לחישוב נפח על הגוף V. לכן, אם V הוא גוף שיש לו נוסחת נפח כמו קובייה, חרוט, גליל ועוד, אז אפשר להשתמש בנוסחת הנפח במקום לחשב את האינטגרל המשולש.
הערה: בידקו היטב אם המשטח בשאלה סגור. אם אינכם בטוחים, עדיף לבקש הבהרה בנוסח השאלה.
לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים במשפט גאוס
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
