fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

פירוק לשברים חלקיים

שיטה שעוזרת לפרק מנה של פולינומים לסכום של שברים עם פולינומים אי-פריקים, לרוב ממעלה אחת. השיטה יעילה מאוד בחישוב אינטגרלים, כי היא עוזרת לפשט מנה של פולינומים לאינטגרלים מיידיים.

איך מפרקים לשברים חלקיים?

  1. מעלת הפולינום במונה צריכה להיות קטנה ממעלה הפולינום במכנה. אם זה לא המצב, נעשה קודם חילוק פולינומים.
  2. נפרק את הפולינום במכנה לגורמים אי-פריקים.
  3. נבנה סכום שבו כל גורם אי-פריק מופיע במכנה של שבר נפרד, ובמונה נשים פולינום ממעלה אחת קטנה יותר מבמכנה. מקדמי הפולינום יהיו נעלמים שנצטרך למצוא.
  4. נעשה מכנה משותף לכל השברים. שימו לב שהמכנה חוזר להיות המכנה המקורי.
  5. נשווה בין המונה שקיבלנו למונה המקורי. שימו לב שאנו משווים פולינומים, כלומר נשווה בין המקדמים שלהם.
  6. נפתור את מערכת המשוואות ונמצא את המקדמים שהגדרנו. 
  7. נציב אותם בסכום שבנינו בנקודה 3 לעיל.

דוגמה

נפרק לשברים חלקיים את הביטוי:

\frac{1}{x^2-1}

ראשית, הפולינום במונה ממעלה אפס והפולינום במכנה ממעלה 2, כלומר גדול ממעלת המונה. נפרק את המכנה לגורמים ונקבל:

\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=

נבנה את הסכום:

=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}=

נעשה מכנה משותף:

=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}=

נסדר את המונה בצורת פולינום:

=\frac{Ax+A+Bx-B}{(x-1)(x+1)}=

=\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}=

כלומר, קיבלנו:

\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}

המכנים שווים. נשווה בין המונים:

1=(A+B)x+(A-B)

נעשה השוואת פולינומים, כלומר נשווה בין המקדמים של האיברים המתאימים:

0=A+B

1=A-B

נפתור את מערכת המשוואות:

מהמשוואה הראשונה נקבל:

A=-B

נציב במשוואה השנייה ונקבל:

1=-B-B

1=-2B

B=-\frac{1}{2}

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

A=\frac{1}{2}

נציב את A ואת B בסכום ונקבל:

\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים בשברים חלקיים

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה