שיטה שעוזרת לפרק מנה של פולינומים לסכום של שברים עם פולינומים אי-פריקים, לרוב ממעלה אחת. השיטה יעילה מאוד בחישוב אינטגרלים, כי היא עוזרת לפשט מנה של פולינומים לאינטגרלים מיידיים.
איך מפרקים לשברים חלקיים?
- מעלת הפולינום במונה צריכה להיות קטנה ממעלה הפולינום במכנה. אם זה לא המצב, נעשה קודם חילוק פולינומים.
- נפרק את הפולינום במכנה לגורמים אי-פריקים.
- נבנה סכום שבו כל גורם אי-פריק מופיע במכנה של שבר נפרד, ובמונה נשים פולינום ממעלה אחת קטנה יותר מבמכנה. מקדמי הפולינום יהיו נעלמים שנצטרך למצוא.
- נעשה מכנה משותף לכל השברים. שימו לב שהמכנה חוזר להיות המכנה המקורי.
- נשווה בין המונה שקיבלנו למונה המקורי. שימו לב שאנו משווים פולינומים, כלומר נשווה בין המקדמים שלהם.
- נפתור את מערכת המשוואות ונמצא את המקדמים שהגדרנו.
- נציב אותם בסכום שבנינו בנקודה 3 לעיל.
דוגמה
נפרק לשברים חלקיים את הביטוי:
\frac{1}{x^2-1}
ראשית, הפולינום במונה ממעלה אפס והפולינום במכנה ממעלה 2, כלומר גדול ממעלת המונה. נפרק את המכנה לגורמים ונקבל:
\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=
נבנה את הסכום:
=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}=
נעשה מכנה משותף:
=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}=
נסדר את המונה בצורת פולינום:
=\frac{Ax+A+Bx-B}{(x-1)(x+1)}=
=\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}=
כלומר, קיבלנו:
\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}
המכנים שווים. נשווה בין המונים:
1=(A+B)x+(A-B)
נעשה השוואת פולינומים, כלומר נשווה בין המקדמים של האיברים המתאימים:
0=A+B
1=A-B
נפתור את מערכת המשוואות:
מהמשוואה הראשונה נקבל:
A=-B
נציב במשוואה השנייה ונקבל:
1=-B-B
1=-2B
B=-\frac{1}{2}
נציב במשוואה הראשונה ונקבל:
A=\frac{1}{2}
נציב את A ואת B בסכום ונקבל:
\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}
לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים בשברים חלקיים
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
