fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חוקי לוגים | חוקי לוגריתמים | חוקי ln – הגדרה וחוקים

אלה כל נוסחאות הלוגריתמים שצריך לדעת כדי להצליח בקורס. שליטה בנוסחאות תחסוך לכם זמן רב בפתרון התרגילים ותמנע טעויות חישוב מיותרות 🙂

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא חוקי לוגריתמים

טבלת חוקי לוגריתמים להורדה

טבלת חוקי ln להורדה

הגדרה

\log_a x = b \Longleftrightarrow a^b=x

עבור

a>0 \text{ and } a\neq 1

שימו לב שמכך נובע שגם

x>0

דוגמה

\log_2 8 = 3

כי מתקיים:

2^3 = 8

תכונות:

שימו לב שמההגדרה נובעות התכונות האלה:

1. מתקיים:

\log_a a=1

כי כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו. 

דוגמה

\log_5 5=1

2. מתקיים:

\log_a 1=0

כי כל מספר בחזקת אפס שווה ל-1.

דוגמה

\log_3 1=0

חוקי לוגריתמים:

חוק הכפל

חוק הכפל מאפשר לפצל לוג, שיש בתוכו פעולת כפל, לסכום של שני לוגים:

\log_a (x\cdot y)=\log_a x +\log_a y

אפשר להשתמש בנוסחה בשני הכיוונים, כלומר אם יש כפל בתוך הלוג, אז אפשר לפצל אותו לסכום של שני לוגים ואם יש סכום של שני לוגים בעלי אותו בסיס, אז אפשר להמיר אותם בלוג אחד של מכפלה.

שימו לב שאם בתוך הלוג יש סכום, אז אי-אפשר לפצל אותו, כלומר

\log_a (x+y)\neq\log_a x \cdot\log_a y

דוגמה

\log_2 8\cdot 4=\log_2 8 +\log_2 4=3+2=5

חוק החילוק

חוק החילוק מאפשר לפצל לוג, שיש בתוכו פעולת חילוק, להפרש של שני לוגים:

\log_a \frac{x}{y}=\log_a x -\log_a y

אפשר להשתמש בנוסחה בשני הכיוונים, כלומר אם יש חילוק בתוך הלוג, אז אפשר לפצל אותו להפרש של שני לוגים ואם יש הפרש של שני לוגים בעלי אותו בסיס, אז אפשר להמיר אותם בלוג אחד של מנה.

שימו לב שאם בתוך הלוג יש הפרש, אז אי-אפשר לפצל אותו, כלומר

\log_a (x-y)\neq\frac{\log_a x}{\log_a y}

דוגמה

\log_3 \frac{27}{9}=\log_3 27 -\log_3 9=3-2=1

ובאמת, לפי תכונה 1, מתקיים:

\log_3 \frac{27}{9}=\log_3 3=1

חוק חילוף חזקה-מקדם

חוק זה מאפשר גמישות במיקום המקדם של הלוג:

\log_a (x^b)=b\log_a x

החוק בעצם אומר שהמקדם יכול להישאר כמקדם (בכפל עם הלוג) או לעבור לחזקה של הביטוי שבתוך הלוג. אפשר לשחק עם זה ולהעביר את המיקום בהתאם לתרגיל.

דוגמה

\log_5 625=\log_5 (5^4)=4\log_5 5=4\cdot 1=4

חוק לוג בחזקה

a^{\log_a x}=x

שימו לב שאם יש מקדם בלוג שבחזקה, חייב להעביר אותו קודם להיות החזקה של הביטוי שבתוך הלוג (לפי החוק בקודם) ורק אז להשתמש בחוק זה.

זה החוק היחיד שמאפשר להעלים לוג שמופיע בחזקה. לכן, כשיש לוג בחזקה, אין התלבטות באיזו נוסחה להשתמש 🙂

דוגמה

2^{\log_2 7}=7

חוק מעבר מבסיס לבסיס

חוק זה מאפשר לשנות את בסיס הלוג:

\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}

אם מופיעים בתרגיל לוגים בבסיסים שונים, צריך לבחור את הבחור שהכי נוח לנו – בדרך כלל, זה יהיה הגורם הכי קטן שמתחלק בכל הבסיסים בתרגיל – ואז לשנות את כל הלוגים בתרגיל לבסיס שבחרנו לפי הנוסחה.

\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}


לחצו כאן להורדה בחינם של קובץ PDF עם טבלת חוקי לוגריתמים


בסיסים מיוחדים – שימוש ב-ln

יש שני בסיסים מיוחדים שכדאי להכיר:

1. ln הוא לוגריתם בבסיס e, כלומר:

\log_e x=\ln x

כאשר e הוא קבוע מתמטי (כמו פאי) וערכו:

e=2.718...

(הוא אינסופי כמו פאי)

לכן, כשיש פונקציית ln, אפשר וצריך להשתמש בכל חוקי הלוגריתמים.


לחצו כאן להורדה בחינם של קובץ PDF עם טבלת חוקי ln


2. כאשר לא מופיע בסיס, הכוונה לבסיס 10. כלומר,

\log x=\log_{10} x

זה הבסיס שמשתמשים בו במחשבונים הרגילים.

לוג באי-שוויון

נשתמש בעובדה שפונקציה מעריכית היא פונקציה מונוטונית עולה כאשר הבסיס גדול מאחד, ולכן אם x>y אז גם

a^x>a^y, a>1

מכאן, אם 

\log_a x> b

אז גם

a^{\log_a x}>a^b

וזה שווה לאי-שוויון

x>a^b

וקיבלנו:

\log_a x> b, a>1\Longrightarrow x > a^b

שימו לב שכאשר הבסיס בין אפס לאחד, הפונקציה המעריכית היא פונקציה מונוטונית יורדת, ומקבלים:

\log_a x> b, 0<a<1\Longrightarrow x < a^b

הערה: היום יש באינטרנט מחשבון לוגריתמים אונליין המחשב תרגילי לוגריתמים בצורה נכונה ומהירה. הוא אפילו מראה את דרך הפתרון באופן מפורט. נכון שאי-אפשר להעזר בו בבחינה, אבל הוא יעיל מאוד בתרגול החומר. אם אתם פותרים תרגילים ואין לכם את התשובה הסופית, אפשר להעזר בו, כדי לוודא שפתרתם נכון.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא חוקי לוגריתמים

הסבר בוידאו


עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה