איך ללמוד ולהצליח בקורס חדו"א?

משוואת אליפסה

תוכן עניינים:

הגדרת משוואת אליפסה

המשוואה:

\frac{{(x-a)}^2}{c^2}+\frac{{(y-b)}^2}{d^2}=1

היא משוואת אליפסה שהמרכז שלה בנקודה

(a,b)

המרחק שלה מנקודת המרכז לנקודות בהיקף מצד ימין ומצד שמאל הוא c והמרחק שלה מנקודת המרכז לנקודות בהיקף שמעליה ומתחתיה הוא d. מכאן, הפרמטרים c,d חיוביים וגדולים מאפס.

המשמעות: כל הנקודות במישור XY שמקיימות את המשוואה הן נקודות על היקף האליפסה.

כאשר מרכז האליפסה בראשית, כלומר בנקודה (0,0), מקבלים שמשוואת האליפסה היא

\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1

משוואת אליפסה שמרכזה בראשית נקראת משוואת אליפסה קנונית.

דוגמה

משוואת האליפסה:

\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1

מתארת את האליפסה הקנונית שמרכזה בראשית.

כך נראה גרף האליפסה:

מרכז האליפסה בראשית. האליפסה חותכת את ציר x בנקודות:

x=3,-3

וזה באמת המספר במכנה של השבר עם x.

והאליפסה חותכת את ציר y בנקודות:

y=2,-2

וזה באמת המספר במכנה של השבר עם y.

משוואת אליפסה באי-שוויון

כאשר נתונה משוואת אליפסה באי-שוויון, מקבלים תחום סופי או אינסופי במישור XY.

דוגמה

המשוואה:

\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}\leq 1

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}\leq 1

כוללת משוואה ואי-שוויון:

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}= 1

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}< 1

המשוואה הראשונה מתארת את היקף האליפסה (כמו למעלה), והמשוואה השנייה מתארת את פנים האליפסה. לכן, האי-שוויון

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}\leq 1

מתאר את כל התחום של היקף האליפסה והשטח שבתוך האליפסה. כך זה נראה:

משוואת האי-שוויון:

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}< 1

מתארת רק את פנים האליפסה, ללא ההיקף. כך התחום שלה נראה במישור XY:

כאן, התחום הוא התחום הסגול ואינו כולל את היקף האליפסה, אלא רק את השטח שבתוך האליפסה.

באופן דומה, מקבלים שהאי-שוויון ההפוך:

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}\geq 1

מתאר את התחום:

האי-שוויון מתאר את כל התחום הסגול, שהוא היקף האליפסה וגם כל השטח במישור XY שמחוץ לאליפסה. כאן, מתקבל תחום אינסופי.

והאי-שוויון ללא סימן שווה:

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}> 1

מתאר את התחום:

האי-שוויון מתאר את כל התחום הסגול, שהוא כל השטח במישור XY שמחוץ לאליפסה, בלי היקף האליפסה. גם כאן, מתקבל תחום אינסופי.

משוואות של חצי אליפסה

אם נבודד את המשתנה y במשוואת האליפסה הקנונית נקבל:

\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1

\frac{y^2}{d^2}=1-\frac{x^2}{c^2}

\frac{y}{d}=\pm\sqrt{1-\frac{x^2}{c^2}}

y=\pm d\sqrt{1-\frac{x^2}{c^2}}

קיבלנו שתי פונקציות:

y_1=d\sqrt{1-\frac{x^2}{c^2}}

y_2=-d\sqrt{1-\frac{x^2}{c^2}}

הפונקציה הראשונה תמיד חיובית, כי שורש תמיד גדול או שווה לאפס, והפונקציה השנייה תמיד שלילית.

דוגמה

עבור d=1, c=2 נקבל את משוואת האליפסה הקנונית:

\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

וכשנבודד את המשתנה y נקבל את הפונקציות:

y_1=2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}

y_2=-2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}

הנה הגרפים של הפונקציות:

הפונקציה הראשונה באדום – חצי אליפסה חיובית, והפונקציה השנייה בכחול – חצי אליפסה שלילית.

בדומה, אפשר לבודד את המשתנה x ולקבל:

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

\frac{x^2}{9}=1-\frac{y^2}{4}

\frac{x}{3}=\pm\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}

קיבלנו שתי עקומות:

x=3\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}

x=-3\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}

כאן מקבלים שבעקומה הראשונה x תמיד חיובי, ובעקומה השנייה x תמיד שלילי.

וכך העקומות נראות:

העקומה הראשונה בירוק – בתחום שבו x חיובי, והעקומה השנייה בסגול – בתחום שבו x שלילי.

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה