אלה השיטות לפתירת אינטגרל במשתנה אחד:
נוסחאות אינטגרציה
אם לפונקציה באינטגרל יש נוסחת אינטגרציה מיידית או אם אפשר להגיע לאינטגרל כזה בעזרת פעולות פשוטות כמו פתיחת סוגריים, עושים זאת ומשתמשים בנוסחאות אינטגרציה מיידיות.
אינטגרציה בחלקים
אם הפונקציה באינטגרל היא מכפלה של שתי פונקציות, אפשר להיעזר בנוסחה הזו:
\int f'(x)\cdot g(x)=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x)
טיפים: הנוסחה טובה במקרים אלה:
- כששתי הפונקציות במכפלה ממשפחות שונות, למשל פונקציה טריגונומטרית ופונקציה מעריכית או פולינום ופונקציה מעריכית, ועוד. אם אחת הפונקציות היא פולינום, אז לרוב נגדיר את הפולינום להיות הפונקציה g, כי כך נגזור את הפולינום ומעלתו תרד.
- כשיש באינטגרל פונקציה אחת שאין לה נוסחת אינטגרציה מיידית, נכפול אותה במספר אחד (זה לא משנה את הביטוי). כך נקבל מכפלה ונוכל להשתמש בנוסחה. שימו לב שבמקרה כזה נגדיר בנוסחה:
f'(x)=1
ואת הפונקציה המקורית נגדיר להיות
g(x)
שיטת ההצבה
כאשר נתון אינטגרל מהצורה:
\int f(g(x))\cdot g'(x)dx
נסמן:
t=g(x)
ואז
dt=g'(x)dx
ונקבל:
\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=\int f(t)dt
אינטגרל יותר פשוט לחישוב.
טיפ: השיטה טובה כאשר במכפלה יש שתי פונקציות מאותה משפחה – טריגונומטריות, מעריכיות, פולינומים ועוד. לפעמים הפונקציה המקורית לא תהיה מכפלה של פונקציה עם הנגזרת שלה, אבל נוכל לפתח את הביטוי (בעזרת פעולות חשבון, שימוש בזהויות טריגונומטריות ועוד) למכפלה כזו ואז להשתמש בשיט.
הערות חשובות:
- באינטגרל לא מסוים, צריך לחזור למשתנה המקורי בתשובה הסופית.
- באינטגרל מסוים, צריך לשנות את גבולות האינטגרציה לפי המשתנה החדש.
הצבה טריגונומטרית
זה מקרה פרטי של שיטת ההצבה. כאן אנו נבחר להציב משתנה חדש, הכולל פונקציה טריגטנומטרית. הצורך בהצבה כזו יהיה ברור כאשר בפונקציה באינטגרל יהיו פונקציות טריגונומטריות, אבל שיטה זו עוזרת גם באינטגרלים שאין בהם פונקציות כאלו.
איך נבחר את ההצבה המתאימה?
- כאשר יש בפונקציה sin או cos, ננסה לגרום לשתי הפונקציות להופיע בפונקציה בעזרת זהויות טריגונומטריות. כששתי הפונקציות מופיעות, נוצר מצב של מכפלה של שתי פונקציות מאותה משפחה ואחת היא הנגזרת של השנייה – זהו מצב קלאסי לשיטת הצבה: נגדיר את אחת הפונקציות להיות המשתנה החדש. שימו לב שבבחירה שלכם ל-t, הנגזרת שלו תהיה בכפל עם dx (במונה).
- כאשר הפונקציה באינטגרל מהצורה:
\sqrt{a^2-b^2x^2}
נשתמש בהצבה טריגונומטרית עם ההגדרה הזו:
x=\frac{a}{b} \sin t
אינטגרל של פונקציה רציונלית (=מנה של פולינומים)
שיש לנו באינטגרל מנה של פולינומים, נבדוק את המעלות של הפולינומים ונפעל כך:
- אם המעלה של הפולינום במונה קטנה מהמעלה של הפולינום במכנה, נפרק לשברים חלקיים.
- אם המעלה של הפולינום במונה גדולה מהמעלה של הפולינום במכנה, נעשה חילוק פולינומים, וכך נקבל את המצב של נקודה 1 ונפעל לפיה.
- אם המעלה של הפולינום במונה שווה למעלה של הפולינום במכנה, ננסה להגיע לביטויים שווים במונה ובמכנה כדי לצמצם או לחלק אותם, וכך נקבל את המצב של נקודה 1 ונפעל לפיה.
לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא אינטגרלים
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
