fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

השלמה לריבוע

כאשר יש לנו פולינום ריבועי כגון

ax^2+bx+c, a>0, b\neq 0

לפעמים נרצה להחליף אותו בביטוי ש-x מופיע בו רק פעם אחת בתוך איבר ריבועי.

איך עושים זאת?

משתמשים בנוסחאות הכפל המקוצר:

{(a+b)}^2=a^2 +2 a b + b^2

{(a-b)}^2=a^2 -2 a b + b^2

כדי לעבור מביטוי שדומה לאיברים באגף ימין לביטוי שדומה לאיבר באגף שמאל.

דוגמה 1

נתון הביטוי:

x^2-6x

ורוצים להחליף אותו בביטוי ש-x מופיע בו רק פעם אחת, בתוך איבר ריבועי.

ראשית, עושים שורש לאיבר הריבועי:

\sqrt{x^2}=x

התוצאה תהיה האיבר הראשון (a) בנוסחאות לעיל.

כופלים את המקדם של התוצאה שקיבלנו ב-2 ומחלקים את המקדם של האיבר עם x ללא חזקה (או בחזקה אחת) וללא הסימן שלו במכפלה:

\frac{6}{2\cdot 1}=3

תוצאה זו תהיה האיבר השני (b) בנוסחאות לעיל.

כעת, נבחר באיזו נוסחה להשתמש. נבדוק את הסימן של האיבר עם x ללא חזקה (או בחזקה אחת) בביטוי המקורי.

כאשר הסימן פלוס, בוחרים את הנוסחה עם הפלוס מהנוסחאות לעיל (הנוסחה הראשונה), וכאשר הסימן הוא מינוס, אז בוחרים את הנוסחה עם המינוס (הנוסחה השנייה).

בתרגיל שלנו הוא מינוס (6x-), אז ניקח את הנוסחה עם המינוס:

{(a-b)}^2=a^2 -2 a b + b^2

נשים במקום a ובמקום b את האיברים שמצאנו בחישובים לעיל ונקבל:

{(x-3)}^2=x^2-6x+9

כעת, שני האיברים הראשונים באגף ימין צריכים להיות זהים לאיברים בביטוי המקורי. אחרת, יש טעות בחישוב וכדאי להתחיל מחדש 🙂

נותרנו עם 9 שלא נמצא בביטוי המקורי, ולכן נחסיר אותו משני האגפים:

{(x-3)}^2-9=x^2-6x+9-9

וקיבלנו:

{(x-3)}^2-9=x^2-6x

כלומר, הביטוי המקורי שווה לביטוי:

{(x-3)}^2-9

ובו x מופיע רק פעם אחת באיבר ריבועי כמו שרצינו.

דוגמה 2

נתון הביטוי:

x^2+2x

ורוצים להחליף אותו בביטוי ש-x מופיע בו רק פעם אחת, בתוך איבר ריבועי.

ראשית, עושים שורש לאיבר הריבועי:

\sqrt{x^2}=x

התוצאה תהיה האיבר הראשון (a) בנוסחאות לעיל.

כופלים את המקדם של התוצאה שקיבלנו ב-2 ומחלקים את המקדם של האיבר עם x ללא חזקה (או בחזקה אחת) וללא הסימן שלו במכפלה:

\frac{2}{2\cdot 1}=1

תוצאה זו תהיה האיבר השני (b) בנוסחאות לעיל.

כעת, נבחר באיזו נוסחה להשתמש. נבדוק את הסימן של האיבר עם x ללא חזקה (או בחזקה אחת) בביטוי המקורי.

כאשר הסימן פלוס, בוחרים את הנוסחה עם הפלוס מהנוסחאות לעיל (הנוסחה הראשונה), וכאשר הסימן הוא מינוס, אז בוחרים את הנוסחה עם המינוס (הנוסחה השנייה).

בתרגיל שלנו הוא פלוס (2x), אז ניקח את הנוסחה עם הפלוס:

{(a+b)}^2=a^2 +2 a b + b^2

נשים במקום a ובמקום b את האיברים שמצאנו בחישובים לעיל ונקבל:

{(x+1)}^2=x^2+2x+1

כעת, שני האיברים הראשונים באגף ימין צריכים להיות זהים לאיברים בביטוי המקורי. אחרת, יש טעות בחישוב וכדאי להתחיל מחדש 🙂

נותרנו עם 1 שלא נמצא בביטוי המקורי, ולכן נחסיר אותו משני האגפים:

{(x+1)}^2-1=x^2+2x+1-1

וקיבלנו:

{(x+1)}^2-1=x^2+2x

כלומר, הביטוי המקורי שווה לביטוי:

{(x+1)}^2-1-9

ובו x מופיע רק פעם אחת באיבר ריבועי כמו שרצינו.

דוגמה 3

נתון הביטוי:

4x^2+8x+1

ורוצים להחליף אותו בביטוי ש-x מופיע בו רק פעם אחת, בתוך איבר ריבועי.

ראשית, עושים שורש לאיבר הריבועי:

\sqrt{4x^2}=2x

התוצאה תהיה האיבר הראשון (a) בנוסחאות לעיל.

כופלים את המקדם של התוצאה שקיבלנו ב-2 ומחלקים את המקדם של האיבר עם x ללא חזקה (או בחזקה אחת) וללא הסימן שלו במכפלה:

\frac{8}{2\cdot 2}=2

תוצאה זו תהיה האיבר השני (b) בנוסחאות לעיל.

כעת, נבחר באיזו נוסחה להשתמש. נבדוק את הסימן של האיבר עם x ללא חזקה (או בחזקה אחת) בביטוי המקורי.

כאשר הסימן פלוס, בוחרים את הנוסחה עם הפלוס מהנוסחאות לעיל, וכאשר הסימן הוא מינוס, אז בוחרים את הנוסחה עם המינוס.

בתרגיל שלנו הוא פלוס (8x), אז ניקח את הנוסחה עם הפלוס:

{(a+b)}^2=a^2 +2 a b + b^2

נשים במקום a ובמקום b את האיברים שמצאנו בחישובים לעיל ונקבל:

{(2x+2)}^2=4x^2+8x+4

כעת, שני האיברים הראשונים באגף ימין צריכים להיות זהים לאיברים בביטוי המקורי. אחרת, יש טעות בחישוב וכדאי להתחיל מחדש 🙂

אבל יש באגף ימין 4 ובביטוי המקורי 1, אז נחסיר 3 משני האגפים כדי לקבל את הביטוי המקורי:

{(2x+2)}^2-3=4x^2+8x+4-3

וקיבלנו:

{(2x+2)}^2-3=4x^2+8x+1

כלומר, הביטוי המקורי שווה לביטוי:

{(2x+2)}^2-3

ובו x מופיע רק פעם אחת באיבר ריבועי כמו שרצינו.

דוגמה 4

נתון הביטוי:

x^2-4x-3

ורוצים להחליף אותו בביטוי ש-x מופיע בו רק פעם אחת, בתוך איבר ריבועי.

ראשית, עושים שורש לאיבר הריבועי:

\sqrt{x^2}=x

התוצאה תהיה האיבר הראשון (a) בנוסחאות לעיל.

כופלים את המקדם של התוצאה שקיבלנו ב-2 ומחלקים את המקדם של האיבר עם x ללא חזקה (או בחזקה אחת) וללא הסימן שלו במכפלה:

\frac{4}{2\cdot 2}=2

תוצאה זו תהיה האיבר השני (b) בנוסחאות לעיל.

כעת, נבחר באיזו נוסחה להשתמש. נבדוק את הסימן של האיבר עם x ללא חזקה (או בחזקה אחת) בביטוי המקורי.

כאשר הסימן פלוס, בוחרים את הנוסחה עם הפלוס מהנוסחאות לעיל, וכאשר הסימן הוא מינוס, אז בוחרים את הנוסחה עם המינוס.

בתרגיל שלנו הוא מינוס (4x-), אז ניקח את הנוסחה עם המינוס:

{(a-b)}^2=a^2 -2 a b + b^2

נשים במקום a ובמקום b את האיברים שמצאנו בחישובים לעיל ונקבל:

{(x-2)}^2=x^2-4x+4

כעת, שני האיברים הראשונים באגף ימין צריכים להיות זהים לאיברים בביטוי המקורי. אחרת, יש טעות בחישוב וכדאי להתחיל מחדש 🙂

אבל יש באגף ימין 4 ובביטוי המקורי 3-, אז נחסיר 7 משני האגפים כדי לקבל את הביטוי המקורי:

{(x-2)}^2-7=x^2-4x+4-7

וקיבלנו:

{(x-2)}^2-7=x^2-4x-3

כלומר, הביטוי המקורי שווה לביטוי:

{(x-2)}^2-7

ובו x מופיע רק פעם אחת באיבר ריבועי כמו שרצינו.

דוגמה 5

נתון הביטוי:

3x^2+x+4

ורוצים להחליף אותו בביטוי ש-x מופיע בו רק פעם אחת, בתוך איבר ריבועי.

ראשית, עושים שורש לאיבר הריבועי:

\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x

התוצאה תהיה האיבר הראשון (a) בנוסחאות לעיל.

כופלים את המקדם של התוצאה שקיבלנו ב-2 ומחלקים את המקדם של האיבר עם x ללא חזקה (או בחזקה אחת) וללא הסימן שלו במכפלה:

\frac{1}{2\sqrt{3}}

תוצאה זו תהיה האיבר השני (b) בנוסחאות לעיל.

כעת, נבחר באיזו נוסחה להשתמש. נבדוק את הסימן של האיבר עם x ללא חזקה (או בחזקה אחת) בביטוי המקורי.

כאשר הסימן פלוס, בוחרים את הנוסחה עם הפלוס מהנוסחאות לעיל, וכאשר הסימן הוא מינוס, אז בוחרים את הנוסחה עם המינוס.

בתרגיל שלנו הוא פלוס (x), אז ניקח את הנוסחה עם הפלוס:

{(a+b)}^2=a^2 +2 a b + b^2

נשים במקום a ובמקום b את האיברים שמצאנו בחישובים לעיל ונקבל:

{(\sqrt{3}x+\frac{1}{2\cdot \sqrt{3}})}^2=3x^2+x+\frac{1}{4\cdot 3}

כעת, שני האיברים הראשונים באגף ימין צריכים להיות זהים לאיברים בביטוי המקורי. אחרת, יש טעות בחישוב וכדאי להתחיל מחדש 🙂

אבל יש באגף ימין מספר השונה מ-4, אז נוסיף את המספר המתאים כדי לקבל 4:

{(\sqrt{3}x+\frac{1}{2\cdot \sqrt{3}})}^2+3\frac{11}{12}=3x^2+x+\frac{1}{12}+3\frac{11}{12}

וקיבלנו:

{(\sqrt{3}x+\frac{1}{2\cdot \sqrt{3}})}^2+3\frac{11}{12}=3x^2+x+4

כלומר, הביטוי המקורי שווה לביטוי:

{(\sqrt{3}x+\frac{1}{2\cdot \sqrt{3}})}^2+3\frac{11}{12}

ובו x מופיע רק פעם אחת באיבר ריבועי כמו שרצינו.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים בהשלמה לריבוע

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה