שיטת כפל בצמוד

שיטה נפוצה מאוד בפתרון תרגילים, כי היא עוזרת לפתח ביטויים מתמטיים בקלות ובמהירות.

מתי משתמשים בשיטת כפל בצמוד?

כאשר מתרחשים שני התנאים האלה:

1. אנו חייבים לשנות את הביטוי המתמטי שלנו, למשל כדי לצאת ממצב של אי-ודאות.
2. הביטוי המתמטי שלנו מכיל חיבור או חיסור של שני איברים כמו a-b או a+b.

איך משתמשים בשיטת כפל בצמוד?

כששני התנאים לעיל מתקיימים, נשתמש בשיטת הכפל המקוצר כך:

ניעזר בנוסחת הכפל המקוצר:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

אנו קוראים לביטוי a-b הצמוד של a+b, ולביטוי a+b אנו קוראים הצמוד של a-b.

הערה: שימוש בשיטה עם נוסחה זו נפוץ מאוד כאשר a או b או שניהם עם שורש.

אם יש לנו ביטוי מתמטי עם חזקה שלישית או שורש שלישי, נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר הזו:

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

ואז נקרא לביטוי 

a^2+ab+b^2

הצמוד של a-b.

הערה: שימוש בשיטה עם נוסחה זו נפוץ מאוד כאשר a או b או שניהם עם שורש שלישי.

כעת, כאשר יש לנו את אחד הביטויים והתנאים לעיל מתקיימים, נכפול את כל הביטוי המתמטי שלנו בצמוד של האיבר שיש לנו.

דוגמה 1:

\frac{a^2}{a-2}

במכנה יש הביטוי a-2. לכן, הצמוד שלו הוא a+2. נכפול את המונה ואת המכנה בצמוד ונקבל:

\frac{a^2}{a-2}=

=\frac{a^2(a+2)}{(a-2)(a+2)}=

נשתמש בנוסחה לעיל ונקבל:

=\frac{a^2(a+2)}{a^2-2^2}=

נסדר:

=\frac{a^3+2a^2}{a^2-4}

דוגמה 2:

כאשר אין מכנה, ועדיין רוצים להשתמש בשיטה זו, פשוט נוסיף מכנה שווה לאחד כך:

2a-4b=\frac{2a-4b}{1}

יש לנו 2a-4b, לכן הצמוד שלו יהיה 2a+4b. נכפול את הביטוי שלנו בצמוד ונקבל:

=\frac{(2a-4b)(2a+4b)}{1\cdot (2a+4b)}=

נשתמש בנוסחה לעיל ונקבל:

=\frac{{(2a)}^2-{(4b)}^2}{2a+4b}=

נסדר:

=\frac{4a^2-16b^2}{2a+4b}

דוגמה 3:

כאשר יש לנו ביטוי עם שורש שלישי, נשתמש בצמוד המתאים לו. נניח שנתון הביטוי:

=\frac{a^2}{\sqrt[3]{a}-1}

אז הצמוד של המכנה הוא הביטוי:

{(\sqrt[3]{a})}^2+\sqrt[3]{a}\cdot 1 +1^2

נכפול מונה ומכנה בצמוד ונקבל:

=\frac{a^2\cdot ({(\sqrt[3]{a})}^2+\sqrt[3]{a}\cdot 1 +1^2)}{(\sqrt[3]{a}-1)({(\sqrt[3]{a})}^2+\sqrt[3]{a}\cdot 1 +1^2)}=

ואז במכנה קיבלנו את אגף ימין בנוסחה:

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

ולכן אפשר להחליפו באגף שמאל בנוסחה. כך נקבל:

=\frac{a^2\cdot ({(\sqrt[3]{a})}^2+\sqrt[3]{a}\cdot 1 +1^2)}{{\sqrt[3]{a}}^3-1^3}=

נסדר ונקבל:

=\frac{a^2\cdot ({(\sqrt[3]{a})}^2+\sqrt[3]{a} +1)}{a-1}

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים בשיטת כפל בצמוד

הסבר מפורט בוידאו

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂