הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

שיטת כפל בצמוד

שיטה נפוצה מאוד בפתרון תרגילים, כי היא עוזרת לפתח ביטויים מתמטיים בקלות ובמהירות.

מתי משתמשים בשיטת כפל בצמוד?

כאשר מתרחשים שני התנאים האלה:

  1. אנו חייבים לשנות את הביטוי המתמטי שלנו, למשל כדי לצאת ממצב של אי-ודאות.
  2. הביטוי המתמטי שלנו מכיל חיבור או חיסור של שני איברים כמו a-b או a+b.

איך משתמשים בשיטת כפל בצמוד?

כששני התנאים לעיל מתקיימים, נשתמש בשיטת הכפל המקוצר כך:

ניעזר בנוסחת הכפל המקוצר:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

אנו קוראים לביטוי a-b הצמוד של a+b, ולביטוי a+b אנו קוראים הצמוד של a-b.

הערה: שימוש בשיטה עם נוסחה זו נפוץ מאוד כאשר a או b או שניהם עם שורש.

אם יש לנו ביטוי מתמטי עם חזקה שלישית או שורש שלישי, נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר הזו:

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

ואז נקרא לביטוי 

a^2+ab+b^2

הצמוד של a-b.

הערה: שימוש בשיטה עם נוסחה זו נפוץ מאוד כאשר a או b או שניהם עם שורש שלישי.

כעת, כאשר יש לנו את אחד הביטויים והתנאים לעיל מתקיימים, נכפול את כל הביטוי המתמטי שלנו בצמוד של האיבר שיש לנו.

דוגמה 1:

\frac{a^2}{a-2}

במכנה יש הביטוי a-2. לכן, הצמוד שלו הוא a+2. נכפול את המונה ואת המכנה בצמוד ונקבל:

\frac{a^2}{a-2}=

=\frac{a^2(a+2)}{(a-2)(a+2)}=

נשתמש בנוסחה לעיל ונקבל:

=\frac{a^2(a+2)}{a^2-2^2}=

נסדר:

=\frac{a^3+2a^2}{a^2-4}

דוגמה 2:

כאשר אין מכנה, ועדיין רוצים להשתמש בשיטה זו, פשוט נוסיף מכנה שווה לאחד כך:

2a-4b=\frac{2a-4b}{1}

יש לנו 2a-4b, לכן הצמוד שלו יהיה 2a+4b. נכפול את הביטוי שלנו בצמוד ונקבל:

=\frac{(2a-4b)(2a+4b)}{1\cdot (2a+4b)}=

נשתמש בנוסחה לעיל ונקבל:

=\frac{{(2a)}^2-{(4b)}^2}{2a+4b}=

נסדר:

=\frac{4a^2-16b^2}{2a+4b}

דוגמה 3:

כאשר יש לנו ביטוי עם שורש שלישי, נשתמש בצמוד המתאים לו. נניח שנתון הביטוי:

=\frac{a^2}{\sqrt[3]{a}-1}

אז הצמוד של המכנה הוא הביטוי:

{(\sqrt[3]{a})}^2+\sqrt[3]{a}\cdot 1 +1^2

נכפול מונה ומכנה בצמוד ונקבל:

=\frac{a^2\cdot ({(\sqrt[3]{a})}^2+\sqrt[3]{a}\cdot 1 +1^2)}{(\sqrt[3]{a}-1)({(\sqrt[3]{a})}^2+\sqrt[3]{a}\cdot 1 +1^2)}=

ואז במכנה קיבלנו את אגף ימין בנוסחה:

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

ולכן אפשר להחליפו באגף שמאל בנוסחה. כך נקבל:

=\frac{a^2\cdot ({(\sqrt[3]{a})}^2+\sqrt[3]{a}\cdot 1 +1^2)}{{\sqrt[3]{a}}^3-1^3}=

נסדר ונקבל:

=\frac{a^2\cdot ({(\sqrt[3]{a})}^2+\sqrt[3]{a} +1)}{a-1}

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים בשיטת כפל בצמוד

הסבר מפורט בוידאו

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה