fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב שטח – תחום בין ישר לפונקציה רציונלית עם פרמטר – תרגיל 4019

תרגיל 

חשבו את שטח התחום החסום על ידי העקומים:

xy=a^2, x+y=\frac{5}{2}a, a>0

a פרמטר חיובי.

תשובה סופית

S=a^2(\frac{15}{8}-2\ln 2)

פתרון

ראשית, נשרטט את התחום. נסדר את המשוואות:

x+y=\frac{5}{2}a \Longrightarrow y=-x+\frac{5}{2}a

xy=a^2 \Longrightarrow y=\frac{a^2}{x}

נמצא את נקודות החיתוך – נשווה בין המשוואות ונקבל:

-x+\frac{5}{2}a=\frac{a^2}{x}

נכפול ב-x:

-x^2+\frac{5}{2}ax=a^2

-x^2+\frac{5}{2}ax-a^2=0

נכפול ב- (2-):

2x^2-5ax+2a^2=0

קיבלנו משוואה ריבועית. נשתמש בנוסחת השורשים:

x_{1,2}=\frac{5a\pm\sqrt{{(5a)}^2-4\cdot 2\cdot 2a^2}}{2\cdot 2}=

=\frac{5a\pm \sqrt{9a^2}}{4}=

=\frac{5a\pm 3a}{4}

x_1=\frac{5a+ 3a}{4}=2a

x_2=\frac{5a- 3a}{4}=\frac{a}{2}

מצאנו את נקודות החיתוך.

למשל, עבור a=2 התחום נראה כך:

שטח בין ישר לפונקציה רציונלית

התחום המבוקש מסומן בפסים ירוקים.

נשתמש בנוסחה למציאת שטח בעזרת אינטגרל כפול:

S=\int \int_D dx dy=

כאשר D הוא התחום במישור XY, שצריך לחשב את השטח שלו.

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה, מתחילים מהאינטגרל הפנימי (הימני) ומעבירים ישר המקביל לציר של משתנה האינטגרציה. בתרגיל שלנו, האינטגרל הפנימי הוא לפי y, ולכן נעביר ישר המקביל לציר y. זה נראה כך:

חישוב תחום אינטגרציה במישור

כעת, נבדוק לאיזה ערך y שווה כשנכנסים לתחום מלמטה ולאיזה ערך y שווה כשיוצאים מהתחום למעלה. אנו נכנסים לתחום בפונקציה הרציונלית, לכן נבודד את y במשוואה זו (כבר בודדנו אותו למעלה):

y=\frac{a^2}{x}

הביטוי שקיבלנו באגף השני יהיה גבול האינטגרציה התחתון. אנו יוצאים מהתחום במשוואת הישר, לכן, נבודד את y במשוואת הישר (כבר עשינו זאת למעלה):

y=-x+\frac{5}{2}a

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

S=\int dx \int_{\frac{a^2}{x}}^{-x+\frac{5}{2}a} dy

נעבור למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים (של האינטגרל השמאלי), לפי x. שימו לב שגבולות חיצוניים חייבים להיות קבועים, ללא המשתנים x או y. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים, ניקח את הקטע הגדול ביותר בציר של משתנה האינטגרציה, החופף עם התחום D. בתרגיל שלנו, המשתנה הוא x, והקטע הגדול ביותר בציר x, שחופף עם התחום הוא הקטע בין נקודות החיתוך:

(\frac{a}{2},2a)

נוסיף את גבולות האינטגרציה לאינטגרל שלנו ונקבל:

S=\int_{\frac{a}{2}}^{2a} dx \int_{\frac{a^2}{x}}^{-x+\frac{5}{2}a} dy=

הערה: אפשר להפוך את הסדר – קודם dy ואז dx – ואז גבולות האינטגרציה ישתנו בהתאם.

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה y.

=\int_{\frac{a}{2}}^{2a} [y]_{\frac{a^2}{x}}^{-x+\frac{5}{2}a} dx =

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

=\int_{\frac{a}{2}}^{2a} (-x+\frac{5}{2}a-\frac{a^2}{x})dx =

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד x. נפתור אותו:

=[-\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}ax-a^2\ln|x|]_{\frac{a}{2}}^{2a}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=-\frac{{(2a)}^2}{2}+\frac{5}{2}a\cdot (2a)-a^2\ln|2a|-(-\frac{{(\frac{a}{2})}^2}{2}+\frac{5}{2}a\frac{a}{2}-a^2\ln|\frac{a}{2}|)=

=-2a^2+5a^2-a^2\ln(2a)+\frac{a^2}{8}-\frac{5a^2}{4}+a^2\ln(\frac{a}{2})=

=3a^2-a^2(\ln 2+\ln a)+\frac{a^2}{8}-\frac{5a^2}{4}+a^2(\ln a-\ln 2)=

=3a^2-a^2\ln 2-a^2\ln a+\frac{a^2}{8}-\frac{5a^2}{4}+a^2\ln a-a^2\ln 2=

=3a^2+\frac{a^2}{8}-\frac{5a^2}{4}-2a^2\ln 2=

=\frac{15}{8}a^2-2a^2\ln 2=

=a^2(\frac{15}{8}-2\ln 2)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה