fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב נפח – תחום בין שטח סגור במישור XY למישור במרחב XYZ – תרגיל 4043

תרגיל 

חשבו את נפח הגוף החסום על ידי המשטחים:

y=x^2, y=1, z=0, z=x^2+y^2

תשובה סופית

V=\frac{88}{105}

פתרון

ראשית, נשרטט את התחום הסגור במישור XY. לשם כך, נשרטט את המשוואות:

y=x^2, y=1

שימו לב שהמשוואה z=0 היא פשוט המישור XY.

התחום נראה כך במישור XY:

תחום בין פרבולה לישר במישור

התחום במישור XY מסומן בפסים ירוקים.

נשתמש בנוסחה למציאת נפח גוף החסום בין תחום במישור לבין משטח במרחב בעזרת אינטגרל כפול:

V=\int \int_D f(x,y) dx dy=

כאשר D הוא התחום במישור XY (שרטוט לעיל), והמשטח

z=f(x,y)

הוא גבול הגוף (עליון או תחתון) שצריך לחשב לו נפח. נציב את פונקציית המשטח בתוך האינטגרל:

V=\int dx \int_D (x^2+y^2) dy=

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה, מתחילים מהאינטגרל הפנימי (הימני) ומעבירים ישר המקביל לציר של משתנה האינטגרציה. בתרגיל שלנו, האינטגרל הפנימי הוא לפי y, ולכן נעביר ישר המקביל לציר y. זה נראה כך:

תחום אינטגרציה לשטח במישור

כעת, נבדוק לאיזה ערך y שווה כשנכנסים לתחום מלמטה ולאיזה ערך y שווה כשיוצאים מהתחום למעלה. אנו נכנסים לתחום בפרבולה, לכן נבודד את y במשוואת הפרבולה (הוא כבר מבודד):

y=x^2

הביטוי באגף השני יהיה גבול האינטגרציה התחתון. ואנו יוצאים מהתחום במשוואת הישר y=1, לכן 1 יהיה גבול האינטגרציה העליון.

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

V=\int dx \int_{x^2}^1 (x^2+y^2) dy

נעבור למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים (של האינטגרל השמאלי), לפי x. שימו לב שגבולות חיצוניים חייבים להיות קבועים, ללא המשתנים x או y. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים, ניקח את הקטע הגדול ביותר בציר של משתנה האינטגרציה, החופף עם התחום D. בתרגיל שלנו, המשתנה הוא x, והקטע הגדול ביותר בציר x, שחופף עם התחום הוא הקטע:

(-1,1)

קצות הקטע הם נקודות החיתוך בין הפרבולה לישר.

נוסיף את גבולות האינטגרציה לאינטגרל שלנו ונקבל:

V=\int_{-1}^1 dx \int_{x^2}^1 (x^2+y^2) dy=

הערה: את הפונקציה שמים בתוך האינטגרל הפנימי (הימני). אפשר להפוך את הסדר – קודם dy ואז dx – ואז גבולות האינטגרציה ישתנו בהתאם.

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה y.

=\int_{-1}^1 [x^2y+\frac{y^3}{3}]_{x^2}^1 dx=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

=\int_{-1}^1 [x^2\cdot 1+\frac{1^3}{3}-(x^2\cdot x^2+\frac{{(x^2)}^3}{3})]dx=

=\int_{-1}^1 (x^2+\frac{1}{3}-x^4-\frac{x^6}{3})dx=

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד x. נפתור אותו:

= [\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3}x-\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{3\cdot 7}]_{-1}^1=

נציב את גבולות האינטגרציה:

= \frac{1^3}{3}+\frac{1}{3}\cdot 1-\frac{1^5}{5}-\frac{1^7}{3\cdot 7}-(\frac{{(-1)}^3}{3}+\frac{1}{3}\cdot (-1)-\frac{{(-1)}^5}{5}-\frac{{(-1)}^7}{3\cdot 7})=

= \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}-(-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{21})=

= \frac{2}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}=

=\frac{88}{105}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה