fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

חישוב נפח – גוף בין שני פרבולואידים – תרגיל 4579

תרגיל 

חשבו את נפח הגוף T החסום על ידי המשטחים:

z=x^2+y^2,z=2x^2+2y^2, y=x,y=x^2

תשובה סופית


V=\frac{3}{35}

פתרון

נחשב את הנפח בעזרת אינטגרל משולש:

V=\int dx \int dy \int dz

ראשית, נבין איך הגוף נראה. במישור נקבל:

y=x,y=x^2

נמצא נקודות חיתוך:

x=x^2

x^2-x=0

x(x-1)=0

x=0, x=1

שתי המשוואות האלה יוצרות במישור XY את התחום הסגור הזה:

תחום במישור XY מישר ומפרבולה

התחום מסומן בקווים ירוקים.

נמצא את גבולות האינטגרציה לפי x ולפי y. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה, נעביר ישר המקביל לציר של משתנה האינטגרציה הפנימי. בתרגיל שלנו, נבחר את האינטגרל הפנימי להיות y, ולכן נעביר ישר המקביל לציר y. זה נראה כך:

תחום אינטגרציה במישור

כעת, נבדוק לאיזה ערך y שווה כשנכנסים לתחום מלמטה ולאיזה ערך y שווה כשיוצאים מהתחום למעלה. אנו נכנסים לתחום בפרבולה:

y=x^2

ויוצאים מהתחום בישר:

y=x

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

V=\int dx \int_{x^2}^x dy \int dz

נעבור למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים (של האינטגרל השמאלי), לפי x. שימו לב שגבולות חיצוניים חייבים להיות קבועים, ללא המשתנים x,y או z. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים, ניקח את הקטע הגדול ביותר בציר של משתנה האינטגרציה, החופף עם התחום במישור XY. בתרגיל שלנו, המשתנה הוא x, והקטע הגדול ביותר בציר x, שחופף עם התחום הוא הקטע:

(0,1)

נוסיף את גבולות האינטגרציה לאינטגרל שלנו ונקבל:

V=\int_0^1 dx \int_{x^2}^x dy \int dz

נמצא את גבולות האינטגרציה לפי z. נתונים שני פרבולואידים. אחד הוא גבול עליון ואחד הוא גבול תחתון. מתקיים:

x^2+y^2\leq z\leq 2(x^2+y^2)

נוסיף את גבולות האינטגרציה לפי z באינטגרל ונקבל:

V=\int_0^1 dx \int_{x^2}^x dy \int_{x^2+y^2}^{2(x^2+y^2)} dz

הגוף T הוא התחום שכלוא מלמטה ומלמעלה בפרבולואידים ומצידיו במישור במשוואות:

y=x,y=x^2

כעת, כשיש לנו את כל גבולות האינטגרציה, נפתור את האינטגרל המשולש. נתחיל מהאינטגרל הפנימי ביותר (הימני) ונפתור אותו לפי משתנה האינטגרציה שמופיע בו – בתרגיל שלנו, z. שאר המשתנים נחשבים לקבועים בשלב זה.

V=\int_0^1 dx \int_{x^2}^x dy \int_{x^2+y^2}^{2(x^2+y^2)} dz=

=\int_0^1 dx \int_{x^2}^x [z]_{x^2+y^2}^{2(x^2+y^2)} dy=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום z:

=\int_0^1 dx \int_{x^2}^x [2(x^2+y^2)-(x^2+y^2)]dy=

=\int_0^1 dx \int_{x^2}^x (x^2+y^2) dy=

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי y, ונקבל:

=\int_0^1 [x^2y+\frac{y^3}{3}]_{x^2}^x dx=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

=\int_0^1 [x^2\cdot x+\frac{x^3}{3}-(x^2\cdot x^2+\frac{{(x^2)}^3}{3})] dx=

=\int_0^1 (x^3+\frac{x^3}{3}-x^4-\frac{x^6}{3}) dx=

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – x. נפתור אותו:

=[\frac{x^4}{4}+\frac{x^4}{3\cdot 4}-\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{3\cdot 7}]_0^1=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{1^4}{4}+\frac{1^4}{3\cdot 4}-\frac{1^5}{5}-\frac{1^7}{3\cdot 7}-(\frac{0^4}{4}+\frac{0^4}{3\cdot 4}-\frac{0^5}{5}-\frac{0^7}{3\cdot 7})=

=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}-0=

=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}=

=\frac{3}{35}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?