fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חקירת פונקציה – פונקציה עם ערך מוחלט – תרגיל 1322

תרגיל 

חקרו את הפונקציה:

y=\frac{|x-1|}{x+1}

תשובה סופית


גרף של פונקציה עם ערך מוחלט

 

פתרון

1.תחום הגדרה – נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. יש בפונקציה מכנה, ולכן נוודא שהמכנה שונה מאפס:

x+1 \neq 0

x \neq -1

2. נקודות חיתוך – נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר x, נציב בפונקציה y=0 ונקבל:

0=\frac{|x-1|}{x+1}

שבר שווה לאפס רק כאשר המונה שלו שווה לאפס. לכן מקבלים:

0=|x-1|

1=x

כלומר, קיבלנו את נקודת החיתוך (1,0) – נקודת החיתוך היחידה עם ציר x.

כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר y, נציב בפונקציה x=0 ונקבל:

y=\frac{|0-1|}{0+1}

y=\frac{|-1|}{1}

y=\frac{1}{1}

y=1

כלומר, קיבלנו את נקודת החיתוך (0,1) – נקודת החיתוך היחידה עם ציר y.

לסיכום, מצאנו שתי נקודות חיתוך עם הצירים: (0,1) ו- (1,0).

3. תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון מקומיות – נמצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה בעזרת הנגזרת שלה. לכן, נגזור את הפונקציה. לשם כך, נסדר את הפונקציה בעזרת הגדרת ערך מוחלט:

y= \begin{cases} \frac{x-1}{x+1}, &\quad x-1\geq 0 \\ \frac{-(x-1)}{x+1}, &\quad x-1 <0\\ \end{cases}

y= \begin{cases} \frac{x-1}{x+1}, &\quad x\geq 1 \\ \frac{1-x}{x+1}, &\quad x<1\\ \end{cases}

כעת, בעזרת נוסחאות גזירה נגזור כל ענף בפונקציה שקיבלנו. שימו לב שאת הגזירות בנקודת החיבור (x=1) נבדוק בנפרד.

y'= \begin{cases} \frac{(x+1)-(x-1)}{{(x+1)}^2}, &\quad x> 1 \\ \frac{-(x+1)-(1-x)}{{(x+1)}^2}, &\quad x<1\\ \end{cases}

= \begin{cases} \frac{2}{{(x+1)}^2}, &\quad x> 1 \\ \frac{-2}{{(x+1)}^2}, &\quad x<1\\ \end{cases}

נבדוק את הנקודה x=1. ראשית, נבדוק אם הפונקציה רציפה בנקודה (אם היא לא רציפה בנקודה, אזי היא בהכרח לא גזירה בה).

נחשב גבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} \frac{|x-1|}{x+1}=0

נחשב גבול משמאל לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x+1}=0

וערך הפונקציה בנקודה הוא:

f(1)=\frac{|1-1|}{1+1}=0

קיבלנו שהגבול מימין שווה לגבול משמאל, ושניהם שווים לערך הפונקציה בנקודה. לכן, מהגדרת רציפות מקבלים שהפונקציה רציפה.

נבדוק גזירות בנקודה. לשם כך, נחשב גבולות מימין ומשמאל על הנגזרת:

f'_{+}(1)=\lim _ { x \rightarrow 1^{+}}\frac{2}{{(x+1)}^2}=\frac{1}{2}

f'_{-}(1)=\lim _ { x \rightarrow 1^{-}}\frac{-2}{{(x+1)}^2}=-\frac{1}{2}

הגבולות החד-צדדיים לא שווים, ולכן הפונקציה אינה גזירה בנקודה.

הערה: אפשר להראות זאת גם בעזרת הגדרת נגזרת.

לאחר שגזרנו את הפונקציה, נמצא את נקודות הקיצון המקומיות באמצעות פתירת המשוואה:

y'=0

נציב את הנגזרת שלנו ונקבל:

\frac{2}{{(x+1)}^2}=0

ואין למשוואה זו פתרון. וכן,

\frac{-2}{{(x+1)}^2}=0

וגם לזה אין פתרון.

כעת, נשרטט את ציר x ונסמן בו את הנקודות האלה: 

  • נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס – בתרגיל שלנו אין כאלה.
  • נקודות שאינן גזירות, אך בתחום ההגדרה של הפונקציה – בתרגיל שלנו הנקודה x=1.
  • נקודות שאינן בתחום ההגדרה, כדי שנזכור שלא יכולה להיות בהן נקודת קיצון מקומי – בתרגיל שלנו x=-1. נקודה כזו נסמן בעיגול, כדי שנזכור שהיא מחוץ למשחק.

אחר כך, נבחר נקודה מכל תחום ונבדוק אם ערך הנגזרת בנקודה חיובי או שלילי. אם הערך שלילי, זהו תחום ירידה של הפונקציה, ונסמן אותו בחץ כלפי מטה. אם הערך חיובי, זהו תחום עלייה של הפונקציה, ונסמן אותו בחץ כלפי מעלה. נתבונן בנקודות מהסוג הראשון והשני (הנקודות שבהן הנגזרת אפס והנקודות שאינן גזירות, אך בתחום ההגדרה של הפונקציה). בכל נקודה נבדוק את החצים לפני הנקודה ואחריה. אם נראה מעבר מירידה לעלייה, אז הנקודה ביניהם היא נקודת מינימום (מקומית), ואם נראה מעבר מעלייה לירידה, אז הנקודה ביניהם היא נקודת מקסימום (מקומית).

עבור התרגיל שלנו זה נראה כך:

חקירת פונקציה ערך מוחלט

שימו לב שאת הנקודה x=-1 סימנו בעיגול, כי  היא אינה בתחום ההגדרה של הפונקציה. גם אם היה מעבר מעלייה לירידה או להפך בנקודה זו, היא לא הייתה יכולה להיות נקודת קיצון מקומי.

4. תחומי קמירות וקעירות, נקודות פיתול – כדי לדעת את הקמירות של גרף הפונקציה, נחשב נגזרת שנייה ונשווה אותה לאפס. שלב זה דומה מאוד לשלב הקודם, אבל עם נגזרת שנייה במקום ראשונה.

הנגזרת הראשונה שקיבלנו היא

y'= \begin{cases} \frac{2}{{(x+1)}^2}, &\quad x> 1 \\ \frac{-2}{{(x+1)}^2}, &\quad x<1\\ \end{cases}

נגזור את הענפים שוב לפי נוסחאות גזירה, ונקבל את הנגזרת השנייה:

y''= \begin{cases} 2\frac{-1}{{(x+1)}^4}\cdot 2(x+1), &\quad x> 1\\ (-2)\frac{-1}{{(x+1)}^4}\cdot 2(x+1), &\quad x<1\\ \end{cases}

= \begin{cases} \frac{-4}{{(x+1)}^3}, &\quad x> 1\\ \frac{4}{{(x+1)}^3}, &\quad x<1\\ \end{cases}

נמצא נקודות פיתול באמצעות פתירת המשוואה:

y''=0

נציב את הנגזרת השנייה שלנו ונקבל:

\frac{-4}{{(x+1)}^3}=0

ואין למשוואה זו פתרון. כמו כן, גם למשוואה

\frac{4}{{(x+1)}^3}=0

אין פתרון. 

כעת, נשרטט את ציר x ונסמן בו את הנקודות האלה: 

  • נקודות שבהן הנגזרת השנייה שווה לאפס – בתרגיל שלנו אין כאלה.
  • נקודות שאינן גזירות, אך בתחום ההגדרה של הפונקציה המקורית – בתרגיל שלנו הנקודה x=1.
  • נקודות שאינן בתחום ההגדרה של הפונקציה, כדי שנזכור שלא יכולה להיות בהן נקודת פיתול – בתרגיל שלנו x=-1. נקודה כזו נסמן בעיגול, כדי שנזכור שהיא מחוץ למשחק.

אחר כך, נבחר נקודה מכל תחום ונבדוק אם ערך הנגזרת השנייה בנקודה חיובי או שלילי. אם הערך שלילי, זהו תחום קעירות של הפונקציה, ונסמן אותו בשרטוט של קערה הפוכה. אם הערך חיובי, זהו תחום קמירות של הפונקציה, ונסמן אותו בשרטוט של קערה. נתבונן בנקודות מהסוג הראשון והשני (הנקודות שבהן הנגזרת אפס והנקודות שאינן גזירות, אך בתחום ההגדרה של הפונקציה). בכל נקודה נבדוק את הקערות ששרטטנו לפני הנקודה ואחריה. אם נראה מעבר מקמירות לקעירות או להפך, אז הנקודה ביניהם היא נקודת פיתול.

עבור התרגיל שלנו זה נראה כך:

פיתול

5. אסימפטוטות – בשלב זה נמצא את התנהגות הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה.

אסימפטוטה אנכית – נחשב את הגבולות החד-צדדיים בנקודת אי-ההגדרה x=-1. הגבול החד-צדדי מימין הוא

\lim _ { x \rightarrow -1^{+}}f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow -1^{+}}\frac{|x-1|}{x+1}=

נציב x=-1 ונקבל:

=\frac{|-1-1|}{-1+1}=\frac{2}{0^{+}}=\infty

הגבול החד-צדדי משמאל הוא

\lim _ { x \rightarrow -1^{-}}f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow -1^{-}}\frac{|x-1|}{x+1}=

נציב x=-1 ונקבל:

=\frac{|-1-1|}{-1+1}=\frac{2}{0^{-}}=-\infty

שימו לב שבשני הגבולות קיבלנו בהצבה אפס במכנה, אך זה אינו אפס מוחלט, אלא שאיפה לאפס (מימין ומשמאל) וכיוון השאיפה קבע את הסימן של המספר (המאוד קטן ושואף לאפס) במכנה.

קיבלנו גבולות אינסופיים, ולכן יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית בנקודה x=-1.

אסימפטוטה משופעת – נחפש אסימפטוטה y=ax+b בסביבת האינסוף כך:

a=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{|x-1|}{x(x+1)}=

בסביבת האינסוף הביטוי במונה חיובי, ולכן אפשר להוריד את הערך המוחלט:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{x^2+x)}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}=

כעת נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{0-0}{1+0}=0

קיבלנו a=0. מכיוון שהוא סופי, נמשיך לחשב את b:

b=\lim _ { x \rightarrow \infty} f(x)-ax=

b=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{|x-1|}{x+1}-0\cdot x=

b=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{|x-1|}{x+1}=

גם כאן, המונה שווה לעצמו בלי הערך המוחלט, כי הוא חיובי:

b=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{x-1}{x+1}=

נחלק ב-x, כי הוא האיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=

נציב אינסוף ונקבל:

= \frac{1-0}{1+0}=1

מכיוון שגם a וגם b סופיים, יש איסמפטוטה משופעת בסביבת אינסוף והיא

y=ax+b=0\cdot x +1=1

y=1

נבדוק את התנהגות הפונקציה בצד השני. נחפש אסימפטוטה y=ax+b בסביבת מינוס אינסוף כך:

a=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{|x-1|}{x(x+1)}=

בסביבת מינוס אינסוף הביטוי במונה שלילי, ולכן נכפול במינוס אחד כשנוריד את הערך המוחלט ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{-(x-1)}{x^2+x)}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{1-x}{x^2+x)}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=

כעת נציב מינוס אינסוף ונקבל:

=\frac{0-0}{1+0}=0

קיבלנו a=0. מכיוון שהוא סופי, נמשיך לחשב את b:

b=\lim _ { x \rightarrow -\infty} f(x)-ax=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty}\frac{|x-1|}{x+1}-0\cdot x=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty}\frac{|x-1|}{x+1}=

גם כאן, נכפול במינוס אחד כשנוריד את הערך המוחלט, ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow -\infty}\frac{1-x}{x+1}=

נחלק ב-x, כי הוא האיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{\frac{1}{x}-1}{1+\frac{1}{x}}=

נציב מינוס אינסוף ונקבל:

= \frac{0-1}{1+0}=-1

מכיוון שגם a וגם b סופיים, יש איסמפטוטה משופעת גם בסביבת מינוס אינסוף והיא

y=ax+b=0\cdot x -1=-1

y=-1

והנה גרף הפונקציה שלנו:

גרף של פונקציה עם ערך מוחלט

הגרף בצבע כחול, האסימפטוטה האנכית בצבע אדום והאסימפטוטות המשופעות בצבע ירוק. שימו לב שהגרף יכול לחתוך אסימפטוטה משופעת בכל סביבה, חוץ מהסביבה שבה היא מוגדרת (אינסוף או מינוס אינסוף).

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה