fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חקירת פונקציה – הרכבה של ln ו-sin – תרגיל 1365

תרגיל 

חקרו את הפונקציה:

y=\ln(1-\sin x)

תשובה סופית


גרף של פונקציה עם ln ועם sin

 

פתרון

1.תחום הגדרה – נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. יש פונקציה לוגריתמית (פונקציית ln), ולכן נוודא שהביטוי בפנים גדול מאפס:

1-\sin x > 0

\sin x < 1

פונקציית סינוס היא תמיד קטנה או שווה לאחד, לכן אנו צריכים רק להוריד את הנקודות שבהן היא שווה לאחד:

x\neq \frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z

2. נקודות חיתוך – נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר x, נציב בפונקציה y=0 ונקבל:

0=\ln(1-\sin x)

1-\sin x=1

\sin x=0

x=k\pi, k\in Z

קיבלנו אינסוף נקודות חיתוך עם ציר x:

(k\pi, 0) k\in Z

כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר y, נציב בפונקציה x=0 ונקבל:

y=\ln(1-\sin 0)

y=\ln(1- 0)

y=\ln1=0

כלומר, קיבלנו את נקודת החיתוך (0,0) – נקודת החיתוך היחידה עם ציר y.

3. תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון מקומיות – נמצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה בעזרת הנגזרת שלה. לכן, נגזור את הפונקציה בעזרת נוסחאות גזירה וכללי גזירה:

y'=\frac{1}{1-\sin x}\cdot (-\cos x)=

= \frac{\cos x}{\sin x - 1}

לאחר שגזרנו את הפונקציה, נמצא את נקודות הקיצון המקומיות באמצעות פתירת המשוואה:

y'=0

נציב את הנגזרת שלנו ונקבל:

\frac{\cos x}{\sin x - 1}=0

שבר שווה לאפס כאשר המונה שלו שווה לאפס:

\cos x=0

x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z

קיבלנו אינסוף נקודות חשודות לקיצון מקומי, אבל חלק מהנקודות לא בתחום ההגדרה של הפונקציה, ולכן צריך להוציא אותן (הן לא יכולות להיות נקודות קיצון) ונקבל:

x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi, k\in Z

כעת, נשרטט את ציר x ונסמן בו את הנקודות האלה: 

  • נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס – הנקודות שמצאנו עכשיו.
  • נקודות שאינן גזירות, אך בתחום ההגדרה של הפונקציה – בתרגיל שלנו אין כאלה.
  • נקודות שאינן בתחום ההגדרה, כדי שנזכור שלא יכולה להיות בהן נקודת קיצון מקומי – בתרגיל שלנו כל הנקודות שמצאנו בסעיף הראשון. נקודות אלו נסמן בעיגול, כדי שנזכור שהן מחוץ למשחק.

אחר כך, נבחר נקודה מכל תחום ונבדוק אם ערך הנגזרת בנקודה חיובי או שלילי. אם הערך שלילי, זהו תחום ירידה של הפונקציה, ונסמן אותו בחץ כלפי מטה. אם הערך חיובי, זהו תחום עלייה של הפונקציה, ונסמן אותו בחץ כלפי מעלה. נתבונן בנקודות מהסוג הראשון והשני (הנקודות שבהן הנגזרת אפס והנקודות שאינן גזירות, אך בתחום ההגדרה של הפונקציה). בכל נקודה נבדוק את החצים לפני הנקודה ואחריה. אם נראה מעבר מירידה לעלייה, אז הנקודה ביניהם היא נקודת מינימום (מקומית), ואם נראה מעבר מעלייה לירידה, אז הנקודה ביניהם היא נקודת מקסימום (מקומית).

עבור התרגיל שלנו זה נראה כך:

חקירת פונקציה נקודות קיצון

שימו לב שהנקודות שאינן בתחום ההגדרה מסומנות בעיגול. גם אם היה מעבר מעלייה לירידה או להפך בנקודות אלו, הן לא היו יכולות להיות נקודות קיצון מקומיות.

4. תחומי קמירות וקעירות, נקודות פיתול – כדי לדעת את הקמירות של גרף הפונקציה, נחשב נגזרת שנייה ונשווה אותה לאפס. שלב זה דומה מאוד לשלב הקודם, אבל עם נגזרת שנייה במקום ראשונה.

הנגזרת הראשונה שקיבלנו היא

y'= \frac{\cos x}{\sin x - 1}

נגזור שוב לפי נוסחאות גזירה, ונקבל את הנגזרת השנייה:

y''=\frac{-\sin x (\sin x - 1) - \cos x \cdot \cos x}{{(\sin x - 1)}^2}

=\frac{\sin x - 1}{{(\sin x - 1)}^2}

=\frac{1}{\sin x - 1}

נמצא נקודות פיתול באמצעות פתירת המשוואה:

y''=0

נציב את הנגזרת השנייה שלנו ונקבל:

\frac{1}{\sin x - 1}=0

אין למשוואה זו פתרון, משום שהמונה שונה מאפס לכל x.

כעת, נשרטט את ציר x ונסמן בו את הנקודות האלה: 

  • נקודות שבהן הנגזרת השנייה שווה לאפס – בתרגיל שלנו אין כאלה.
  • נקודות שאינן גזירות, אך בתחום ההגדרה של הפונקציה המקורית – בתרגיל שלנו אין כאלה.
  • נקודות שאינן בתחום ההגדרה של הפונקציה, כדי שנזכור שלא יכולה להיות בהן נקודת פיתול – בתרגיל שלנו אלה כל הנקודות שמצאנו בסעיף הראשון. נקודות כאלו נסמן בעיגול, כדי שנזכור שהן מחוץ למשחק.

אחר כך, נבחר נקודה מכל תחום ונבדוק אם ערך הנגזרת השנייה בנקודה חיובי או שלילי. אם הערך שלילי, זהו תחום קעירות של הפונקציה, ונסמן אותו בשרטוט של קערה הפוכה. אם הערך חיובי, זהו תחום קמירות של הפונקציה, ונסמן אותו בשרטוט של קערה. נתבונן בנקודות מהסוג הראשון והשני (הנקודות שבהן הנגזרת אפס והנקודות שאינן גזירות, אך בתחום ההגדרה של הפונקציה). בכל נקודה נבדוק את הקערות ששרטטנו לפני הנקודה ואחריה. אם נראה מעבר מקמירות לקעירות או להפך, אז הנקודה ביניהם היא נקודת פיתול. מכיוון שבתרגיל זה אין נקודות חשודות, לא נקבל נקודות פיתול, אבל נגלה אם הפונקציה קעורה או קמורה בתחומים השונים של תחום ההגדרה.

עבור התרגיל שלנו זה נראה כך:

חקירת פונקציה פיתול

5. אסימפטוטות – בשלב זה נמצא את התנהגות הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה.

אסימפטוטה אנכית – נחשב את הגבולות החד-צדדיים בנקודות אי-ההגדרה שמצאנו בסעיף הראשון. ניקח נקודה מתוך הקבוצה:

x=\frac{\pi}{2}

ונחשב את הגבולות החד-צדדיים לנקודה.

הגבול החד-צדדי מימין הוא

\lim _ { x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}\ln(1-\sin x)=

נציב את הנקודה ונקבל:

=\ln(1-1^{-})=-\infty

הגבול החד-צדדי משמאל הוא

\lim _ { x \rightarrow -1^{-}}f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow -1^{-}}\ln(1-\sin x)=

נציב את הנקודה ובאופן דומה נקבל:

=\ln(1-1^{-})=-\infty

שימו לב שבשני הגבולות קיבלנו בהצבה אפס בתוך ה-ln, אך זה אינו אפס מוחלט, אלא שאיפה לאפס. כמו כן, מכיוון שפונקציית סינוס היא פונקציה מחזורית, נקבל תוצאה זהה בשאר נקודות אי-ההגדרה.

קיבלנו גבולות אינסופיים, ולכן יש לפונקציה אסימפטוטות אנכיות בכל נקודות אי-ההגדרה שמצאנו בסעיף הראשון.

אסימפטוטה משופעת – נחפש אסימפטוטה y=ax+b בסביבת האינסוף כך:

a=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\ln(1-\sin x)}{x}=

אבל גבול זה אינו קיים, משום שלפונקציית sin אין גבול באינסוף, ואי-אפשר לחלץ אותו מהביטוי. לכן, מקבלים שאין אסימפטוטה בסביבת האינסוף.

באופן דומה, מקבלים שאין אסימפטוטה משופעת גם בסביבת מינוס אינסוף.

והנה גרף הפונקציה שלנו:

גרף של פונקציה עם ln ועם sin

 

 

הגרף בצבע כחול והאסימפטוטות האנכיות בצבע אדום.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה