fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורי פונקציות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם ln – תרגיל 2983

תרגיל 

מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:

\ln x+\ln^2 x+\ln^3 x+...

תשובה סופית


(\frac{1}{e},e)

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור:

\ln x+\ln^2 x+\ln^3 x+...=\sum_{n=1}^{\infty} \ln^n x

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

נבדוק התכנסות בהחלט. כלומר נבדוק אם הטור בערך מוחלט:

\sum_{n=1}^{\infty} |\ln^n x|=

=\sum_{n=1}^{\infty} |\ln x|^n

מתכנס.

כעת הטור חיובי, ואפשר להשתמש במבחני התכנסות לטורים חיוביים. מכיוון שהאיבר הכללי בחזקת n, נשתמש במבחן קושי:

\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{ |\ln x|^n}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}|\ln x|=|\ln x|

ממבחן קושי נובע, שהטור (בערך מוחלט) מתכנס כאשר מתקיים:

|\ln x|<1

כלומר, תחום ההתכנסות של הטור הוא

-1<\ln x<1

נסדר את האי-שוויון, כדי לקבל את תחום ההתכנסות לפי x:

e^{-1}<e^{\ln x}<e^1

\frac{1}{e}<x<e

קיבלנו שהטור מתכנס בהחלט בתחום:

(\frac{1}{e},e)

נבדוק את קצות התחום. נציב את הנקודה x=e בטור המקורי ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty} \ln^n e=

=\sum_{n=1}^{\infty} (\ln e)^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} 1^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} 1

נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} 1=1\neq 0

מכיוון שהגבול על האיבר הכללי של הטור אינו שואף לאפס, מתנאי הכרחי להתכנסות נובע שהטור מתבדר.

נבדוק את הקצה השני של תחום ההתכנסות:

x=\frac{1}{e}

נציב את הנקודה בטור החזקות ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty} \ln^n \frac{1}{e}=

=\sum_{n=1}^{\infty} {(\ln \frac{1}{e})}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} {(\ln e^{-1})}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} {(-\ln e)}^n=

=\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^n=

שוב נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} {(-1)}^n

אבל גבול זה אינו קיים. מכיוון שהגבול אינו אפס, שוב מתנאי הכרחי להתכנסות  מקבלים שהטור מתבדר.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(\frac{1}{e},e)

ומתבדר בקצוות.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה