fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורי פונקציות – תחום התכנסות בהחלט ובתנאי לטור עם e – תרגיל 2985

תרגיל 

מצאו את תחום ההתכנסות (בהחלט ובתנאי) של הטור:

e^x+2e^{2x}+3e^{3x}+...

תשובה סופית


x<0

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור:

e^x+2e^{2x}+3e^{3x}+...=\sum_{n=1}^{\infty} ne^{n x}

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

נבדוק התכנסות בהחלט. כלומר נבדוק אם הטור בערך מוחלט:

\sum_{n=1}^{\infty} |ne^{n x}|=

=\sum_{n=1}^{\infty} ne^{n x}

מתכנס. שימו לב שהטור במקור היה חיובי, ולכן הטור בערך מוחלט שווה לטור המקורי.

כעת כשאנו בטוחים שהטור חיובי, אפשר להשתמש במבחני התכנסות לטורים חיוביים. מכיוון שהאיבר הכללי בחזקת n, נשתמש במבחן קושי:

\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{ne^{n x}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}\sqrt[n]{e^{n x}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} e^x=e^x

ממבחן קושי נובע, שהטור (בערך מוחלט) מתכנס כאשר מתקיים:

e^x<1

נסדר את האי-שוויון, כדי לקבל את תחום ההתכנסות לפי x:

\ln e^x<\ln 1

x<0

קיבלנו שהטור מתכנס בהחלט בתחום:

(-\infty,0)

נבדוק את הנקודה x=0. נציב אותה בטור המקורי ונקבל את טור המספרים:

\sum_{n=1}^{\infty} ne^{n 0}

=\sum_{n=1}^{\infty} ne^{0}

=\sum_{n=1}^{\infty} n=

נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים. לשם כך, נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} n=\infty \neq 0

מכיוון שהגבול על האיבר הכללי של הטור אינו שואף לאפס, מתנאי הכרחי להתכנסות נובע שהטור מתבדר.

תשובה סופית – הטור מתכנס בהחלט בתחום

(-\infty,0)

ומתבדר בנקודה x=0.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה