fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות בפונקציה מרובת משתנים – פונקציית מנה עם sin – תרגיל 4195

תרגיל 

האם הפונקציה:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{(x-1)(y-2)}{{(x-1)}^2+\sin^2(y-2)}, &\quad (x,y) \not= (1,2)\\ 0, &\quad (x,y)= (1,2)\\ \end{cases}

רציפה בנקודה (1,2)?

תשובה סופית


לא

פתרון

לפי הגדרת רציפות, פונקציה רציפה בנקודה אם הגבול של הפונקציה לנקודה שווה לערך הפונקציה בנקודה, כלומר בתרגיל שלנו הפונקציה רציפה אם מתקיים:

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{(x-1)(y-2)}{{(x-1)}^2+\sin^2(y-2)}=f(1,2)=0

לפני שנבדוק אם הגבול שווה לאפס, נבדוק אם הוא קיים בכלל, כי אולי אין גבול בנקודה זו. לשם כך, נשתמש בשיטת המסלולים – ננסה למצוא שני מסלולים בתחום ההגדרה (במישור XY) שמובילים לנקודה (בתרגיל שלנו, הנקודה (1,2)), אבל שחישוב הגבול על המסלולים ייתן תוצאות שונות.

נבחר מסלול אחד:

x= 1,y\rightarrow 2

נציב את המסלול בפונקציה ונחשב את הגבול:

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{(x-1)(y-2)}{{(x-1)}^2+\sin^2(y-2)}=

=\lim_{y\rightarrow 2}\frac{(1-1)(y-2)}{{(1-1)}^2+\sin^2(y-2)}=

=\lim_{y\rightarrow 2}\frac{0}{0+\sin^2(y-2)}=0

הערה: קיבלנו אפס מוחלט חלקֵי שואף לאפס, ולכן זה אינו מקרה אי וודאות, אלא מוגדר הייטב ושווה לאפס.

נבחר מסלול שני:

y=x+1,x\rightarrow 1

נציב את המסלול בפונקציה ונחשב את הגבול:

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{(x-1)(y-2)}{{(x-1)}^2+\sin^2(y-2)}=

=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1-2)}{{(x-1)}^2+\sin^2(x+1-2)}=

=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x-1)}{{(x-1)}^2+\sin^2(x-1)}=

בסביבת האפס מתקיים:

\sin x\approx x

וכאשר x שואף לאחת, הביטוי x-1 שואף לאפס, לכן אפשר להשמיט את ה-sin ונקבל:

=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x-1)}{{(x-1)}^2+{(x-1)}^2}=

=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{{(x-1)}^2}{2{(x-1)}^2}=\frac{1}{2}

קיבלנו שמסלול אחד מוביל לתוצאה 0, ומסלול שני מוביל לתוצאה 0.5. מכאן, אין לפונקציה גבול בנקודה. לכן, הפונקציה אינה רציפה בנקודה.

הערות חשובות:

  • כשאתם בוחרים מסלולים, שימו לב שהמסלולים שבחרתם עוברים בנקודה (למשל, בתרגיל הזה המסלולים עוברים בנקודה (1,2)).
  • שיטת המסלולים עוזרת רק להפרכת גבול, כלומר להוכיח שהגבול אינו קיים. אם המסלולים שבחרתם מובילים לאותה תוצאה, לא ניתן להסיק מכך שקיים גבול, אלא צריך להוכיח זאת.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה