fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות בפונקציה מרובת משתנים – פונקציית מנה עם sin – תרגיל 4204

תרגיל 

האם הפונקציה:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{(x-1){(y-2)}^2}{{(x-1)}^2+\sin^2(y-2)}, &\quad (x,y) \not= (1,2)\\ 0, &\quad (x,y)= (1,2)\\ \end{cases}

רציפה בנקודה (1,2)?

תשובה סופית


כן

פתרון

לפי הגדרת רציפות, פונקציה רציפה בנקודה אם הגבול של הפונקציה לנקודה שווה לערך הפונקציה בנקודה, כלומר בתרגיל שלנו הפונקציה רציפה אם מתקיים:

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{(x-1)(y-2)}{{(x-1)}^2+\sin^2(y-2)}=f(1,2)=0

ראשית, נשים לב שבסביבת האפס מתקיים:

\sin x\approx x

מכאן, מכיוון שהביטוי בתוך ה-sin שואף לאפס, אפשר להשמיט את ה-sin. לכן, מספיק להוכיח שמתקיים:

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{(x-1)(y-2)}{{(x-1)}^2+{(y-2)}^2}=0

נוכיח שהגבול לעיל קיים ושווה לאפס בשיטה להוכחת גבול בעזרת משתנים פולריים. לשם כך, נגדיר:

x=1+r\cos\theta

y=2+r\sin\theta

וננסה להוכיח שהגבול L שווה לאפס. נציב הכול בנוסחה ונקבל:

|f(x,y)-L|=

=|\frac{(x-1){(y-2)}^2}{{(x-1)}^2+{(y-2)}^2}-0|=

=|\frac{(1+r\cos\theta-1){(2+r\sin\theta-2)}^2}{{(1+r\cos\theta-1)}^2+{(2+r\sin\theta-2)}^2}|=

=|\frac{(r\cos\theta){(r\sin^2\theta)}^2}{{(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2}|=

=|\frac{r^3\cos\theta\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}|=

=|\frac{r^3\cos\theta\sin^2\theta}{r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}|=

=|\frac{r^3\cos\theta\sin^2\theta}{r^2}|=

=|r\cos\theta\sin^2\theta|

sin ו-cos פונקציות חסומות ותמיד קטנות או שוות לאחד:

\leq r

הסרנו את הערך המוחלט, כי r תמיד גדול או שווה לאפס.

הצלחנו להגיע לביטוי גדול יותר התלוי רק במשתנה r (בלי תטה). נגדיר פונקציה חדשה:

g(r)=r

אם הפונקציה הזו תשאף לאפס כאשר r שואף לאפס, אז הניחוש המקורי שלנו (שהגבול שווה לאפס) נכון. אבל כמובן שמתקיים:

\lim_{r\rightarrow 0} r=0

קיבלנו שהגבול של g שווה לאפס, ולכן ההנחה שלנו לעיל שהגבול (המקורי) שואף לאפס, נכונה. כלומר,

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{(x-1)(y-2)}{{(x-1)}^2+\sin^2(y-2)}=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה