fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אי-שוויונים – ערך מוחלט – תרגיל 1862

תרגיל 

פתרו את האי-שוויון:

|2x-1|>|x-1|

תשובה סופית


x<0 \text{ or } x>\frac{2}{3}

פתרון

|2x-1|>|x-1|

נבדוק באלו נקודות הערכים המוחלטים מתאפסים:

2x-1=0 \rightarrow x=\frac{1}{2}

x-1=0 \rightarrow x=1

נחלק את ציר x לתחומים זרים לפי הנקודות שמצאנו. נקבל את שלושת התחומים:

x\leq \frac{1}{2}, \frac{1}{2}< x\leq 1, x>1

בכל תחום, נעשה את השלבים הבאים:

  1. נבחר מספר בתחום.
  2. ניפטר מהערכים המוחלטים באי-שוויון לפי הסימן שמתקבל בהצבת המספר שבחרנו, ונפתור את האי-שוויון.
  3. נחתוך את התשובה עם התחום המקורי.

נתחיל מהתחום הראשון:

x\leq \frac{1}{2}

נבחר מספר בתחום, למשל x=0. נרשום את אי-השוויון שלנו ללא הערכים המוחלטים. בכל ערך מוחלט נציב את הנקודה. אם התוצאה חיובית, פשוט נסיר את הערך המוחלט, ואם התוצאה שלילית, נסיר את הערך המוחלט ונכפיל במינוס אחד. בתרגיל שלנו נקבל,

-(2x-1)>-(x-1)

נפתור את האי-שוויון:

-2x+1>-x+1

1-1>2x-x

0>x

נחתוך בקשר “וגם” את מה שקיבלנו עם התחום המקורי. כלומר, נחשב את

x<0

וגם

x\leq \frac{1}{2}

יחד נקבל 

x<0

נעבור לתחום השני:

\frac{1}{2}< x\leq 1

נבחר מספר בתחום, למשל הנקודה

x=\frac{3}{4}

נרשום את האי-שוויון שלנו ללא הערכים המוחלטים. בכל ערך מוחלט נציב את הנקודה. אם התוצאה חיובית, פשוט נסיר את הערך המוחלט, ואם התוצאה שלילית, נסיר את הערך המוחלט ונכפול במינוס אחד. בתרגיל שלנו נקבל,

2x-1>-(x-1)

נפתור את האי-שוויון:

2x-1>-x+1

3x>2

x>\frac{2}{3}

נחתוך את הפתרון שקיבלנו עם התחום המקורי בקשר “וגם”  ביניהם. כלומר, נחשב את

x>\frac{2}{3}

וגם

\frac{1}{2}< x\leq 1

יחד נקבל

\frac{2}{3}< x\leq 1

נעבור לתחום האחרון, התחום השלישי:

x>1

נבחר מספר בתחום, למשל x=2. נרשום את אי-השוויון שלנו ללא הערכים המוחלטים. בכל ערך מוחלט נציב את הנקודה. אם התוצאה חיובית, פשוט נסיר את הערך המוחלט, ואם התוצאה שלילית, נסיר את הערך המוחלט ונכפיל במינוס אחד. בתרגיל שלנו נקבל,

2x-1>x-1

נפתור את האי-שוויון:

2x-x>1-1

x>0

נחתוך את הפתרון שקיבלנו עם התחום המקורי בקשר “וגם” ביניהם. כלומר,נחשב את 

x>0

וגם

x>1

יחד נקבל

x>1

השלב הסופי הוא לקחת את כל הפתרונות שקיבלנו ולחתוך אותם בקשר “או” ביניהם, כלומר נחשב את

x<0

או

\frac{2}{3}< x\leq 1

או

x>1

התוצאה היא:

x<0 \text{ or } x>\frac{2}{3}

וזו התשובה הסופית.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה