fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אי-שוויונים – הוכחת אי-שוויון הממוצעים עבור n=2 – תרגיל 1904

תרגיל 

הוכיחו את האי-שוויון:

\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}

הערה: אי-שוויון זה מתקבל כאשר מציבים n=2 באי-שוויון הממוצעים:

{(a_1\cdot a_2 \cdot ...\cdot a_n)}^{\frac{1}{n}}\leq\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}

פתרון

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר:

{(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2

נשים לב שמתקיים:

0\leq {(a-b)}^2

כי כל איבר ריבועי, חיובי. כך קיבלנו:

0\leq a^2-2ab+b^2

נבטא את האיבר האמצעי כסכום איברים ונקבל:

0\leq a^2-4ab+2ab+b^2

נסדר:

0\leq a^2+2ab+b^2-4ab

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר לסכום ונקבל:

0\leq {(a+b)}^2-4ab

נעביר אגפים ונחלק ב-4:

4ab\leq {(a+b)}^2

ab\leq \frac{{(a+b)}^2}{4}

נפעיל שורש בשני האגפים:

\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}

וקיבלנו את האי-שוויון המבוקש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה