תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_c xdy+ydx
כאשר c הוא קו ישר המחבר בין הנקודות: (1,2-), (2,3).
תשובה סופית
פתרון מפורט
אנו צריכים לחשב אינטגרל קווי מסוג שני. ראשית, נמצא את משוואת הישר c.
נחשב את שיפוע הישר:
m=\frac{3-2}{2+1}=\frac{1}{3}
נציב את השיפוע ואת הנקודה (2,3) במשוואת ישר ונקבל:
y-3=\frac{1}{3}(x-2)
y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}
מקבלים:
dy=\frac{1}{3}dx
והטווח של x הוא:
-1\leq x\leq 2
נציב הכול באינטגרל ונקבל:
\int_{-1}^2 x\cdot \frac{1}{3}dx + (\frac{1}{3}x+\frac{7}{3})dx=
קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד x. נסדר אותו:
=\int_{-1}^2 (\frac{2}{3}x+\frac{7}{3})dx=
נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:
=[\frac{2}{3}\cdot\frac{x^2}{2}+\frac{7}{3}x]_{-1}^2=
=[\frac{x^2}{3}+\frac{7}{3}x]_{-1}^2=
=\frac{2^2}{3}+\frac{7}{3}\cdot 2-(\frac{{(-1)}^2}{3}+\frac{7}{3}\cdot (-1))=
=\frac{4}{3}+\frac{14}{3}-(\frac{1}{3}-\frac{7}{3})=
=\frac{4}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{3}+\frac{7}{3}=
=\frac{24}{3}=8
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
