fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל קווי מסוג שני – מסלול של ישר במרחב XYZ – תרגיל 3530

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_c xdx+y^2dy-z^3dz

כאשר c הוא קו ישר המחבר בין הנקודות: (1,1,1),(4-,3,2).

תשובה סופית


\int_c xdx+y^2dy-z^3dz=-53\frac{7}{12}

פתרון

אנו צריכים לחשב אינטגרל קווי מסוג שני. ראשית, נמצא את משוואת הישר c, העובר דרך שתי הנקודות. כיוון הישר הוא חיסור שתי הנקודות:

p=(2,3,-4)-(1,1,1)=(1,2,-5)

לכן, משוואת הישר היא

m=(1,2,-5)t+(1,1,1)

נעבור להצגה פרמטרית, כדי לקבל משתנה אחד t.

x=1\cdot t +1 = t+1

y=2\cdot t +1 = 2t+1

z=-5\cdot t +1 = -5t+1

מכאן, מקבלים:

dx=1dt

dy=2dt

dz=-5dt

נמצא את הטווח של t. נציב את הנקודה (1,1,1) במשוואות לעיל ונקבל

1= t+1

1 = 2t+1

1= -5t+1

הן מתקיימות כאשר t=0. נציב גם את הנקודה השנייה במשוואות ונקבל

2= t+1

3 = 2t+1

-4= -5t+1

הן מתקיימות כאשר t=1. לכן, הטווח של t הוא

0\leq t\leq 1

נציב באינטגרל ונקבל:

\int_0^1 (t+1)dt+{(2t+1)}^2\cdot 2dt-{(-5t+1)}^3\cdot (-5)dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_0^1 ((t+1)+2{(2t+1)}^2+5{(-5t+1)}^3)dt=

נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:

=[\frac{{(t+1)}^2}{2}+2\cdot\frac{{(2t+1)}^3}{3\cdot 2}+5\cdot\frac{{(-5t+1)}^4}{(-5)\cdot 4}]_0^1=

=\frac{{(1+1)}^2}{2}+2\cdot\frac{{(2\cdot 1+1)}^3}{3\cdot 2}+5\cdot\frac{{(-5\cdot 1+1)}^4}{(-5)\cdot 4}-(\frac{{(0+1)}^2}{2}+2\cdot\frac{{(2\cdot 0+1)}^3}{3\cdot 2}+5\cdot\frac{{(-5\cdot 0+1)}^4}{(-5)\cdot 4})=

=\frac{4}{2}+2\cdot\frac{3^3}{6}+5\cdot\frac{{(-4)}^4}{-20}-(\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{-20})=

=2+9-64-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=

=-53\frac{7}{12}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה