fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משטחי מסוג שני – חישוב אינטגרל על חרוט – תרגיל 4103

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int_S Pdydz + Qdxdz +Rdxdy

כאשר מתקיים:

P=y, Q=-x, R=0

והמשטח S הוא הצד החיצוני של חצי החרוט:

z^2=x^2+y^2, 0\leq z\leq 3

תשובה סופית

\int\int_S \vec{F}\hat{n}ds=0

פתרון

אנו צריכים לפתור אינטגרל משטחי מסוג שני, ולכן נשתמש בנוסחה:

\int\int_S Pdydz + Qdxdz +Rdxdy=

=\int\int_S \vec{F}\hat{n}ds

כאשר הווקטור n הוא נורמל למשטח כלפי חוץ (כי מדובר בצד החיצוני של החרוט) והפונקציה הווקטורית F היא הפונקציה:

\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}

או בקיצור:

\vec{F}=(P,Q,R)

נחשב את המכפלה:

\vec{F}\hat{n}

הפונקציה הווקטורית F היא

\vec{F}=(y,-x,0)

נמצא את הווקטור n – הנורמל למשטח. לכן, נסדר את משוואת המשטח (החרוט):

z^2=x^2+y^2

x^2+y^2-z^2=0

נגדיר:

h(x,y,z)=x^2+y^2-z^2

וקטור הנורמל n הוא וקטור הנגזרות החלקיות של h. נגזור:

h'_x=2x

h'_y=2y

h'_z=-2z

לכן, הנורמל הוא

\vec{n}=(2x,2y,-2z)

ננרמל את הווקטור – נחשב את אורכו ונחלק את הווקטור בתוצאה:

|\vec{n}|=\sqrt{{(2x)}^2+{(2y)}^2+{(-2z)}^2}=

=\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}=

=2\sqrt{x^2+y^2+z^2}

הווקטור המנורמל הוא

\hat{n}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=

=\frac{(2x,2y,-2z)}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=

=\frac{(x,y,-z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

נחשב את המכפלה:

\vec{F}\cdot \hat{n}=(y,-x,0)\cdot\frac{(x,y,-z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=

=\frac{yx-xy+0\cdot (-z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=

=\frac{0}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=0

נזכור שמתקיים:

x^2+y^2+z^2=16

נציב ונקבל:

=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{16}=4

כלומר, קיבלנו:

\vec{F}\cdot \hat{n}=0

ואינטגרל על אפס שווה לאפס, לכן מקבלים:

\int\int_S \vec{F}\hat{n}ds=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה