fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משטחי מסוג שני – חישוב אינטגרל על מישור – תרגיל 4109

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int_S Pdydz + Qdxdz +Rdxdy

כאשר מתקיים:

P=y-x, Q=x+y, R=y

והמשטח S הוא הצד החיצוני של חצי המישור

x+y+z=1, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0

תשובה סופית

\int\int_S \vec{F}\hat{n}ds=\frac{1}{2}

פתרון

אנו צריכים לפתור אינטגרל משטחי מסוג שני, ולכן נשתמש בנוסחה:

\int\int_S Pdydz + Qdxdz +Rdxdy=

=\int\int_S \vec{F}\hat{n}ds

כאשר הווקטור n הוא נורמל למשטח כלפי מעלה (כי מדובר בצד העליון של המישור) והפונקציה הווקטורית F היא הפונקציה:

\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}

או בקיצור:

\vec{F}=(P,Q,R)

נחשב את המכפלה:

\vec{F}\hat{n}

הפונקציה הווקטורית F היא

\vec{F}=(y-x,x+y,y)

נמצא את הווקטור n – הנורמל למשטח. לכן, נסדר את משוואת המשטח (המישור):

x+y+z=1

x+y+z-1=0

נגדיר:

h(x,y,z)=x+y+z-1

וקטור הנורמל n הוא וקטור הנגזרות החלקיות של h. נגזור:

h'_x=1

h'_y=1

h'_z=1

לכן, הנורמל הוא

\vec{n}=(1,1,1)

ננרמל את הווקטור – נחשב את אורכו ונחלק את הווקטור בתוצאה:

|\vec{n}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=

=\sqrt{3}

הווקטור המנורמל הוא

\hat{n}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=

=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}=

=\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}

נחשב את המכפלה:

\vec{F}\cdot \hat{n}=(y-x,x+y,y)\cdot(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})=

=\frac{1}{\sqrt{3}}(y-x)+\frac{1}{\sqrt{3}}(x+y)+\frac{1}{\sqrt{3}}y=

=\frac{1}{\sqrt{3}}y-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{1}{\sqrt{3}}y+\frac{1}{\sqrt{3}}y=

=\frac{3}{\sqrt{3}}y=

=\sqrt{3}y

כלומר, קיבלנו:

\vec{F}\cdot \hat{n}=\sqrt{3}y

כעת, נרצה לעשות את ההמרה של ds למשתנים קרטזיים dxdy. נשתמש בנוסחה:

ds=\sqrt{1+{(z'_x)}^2+{(z'_y)}^2}dxdy

לכן, נבודד את z במשוואת המישור ונחשב את הנגזרות החלקיות שלו:

z=1-x-y

נחשב נגזרות חלקיות:

z'_x=-1

z'_y=-1

נציב את כל הנתונים באינטגרל, ונקבל:

\int\int_S \vec{F}\hat{n}ds=

=\int\int_D \sqrt{3}y\sqrt{1+{-1)}^2+{(-1)}^2}dxdy=

=\sqrt{3}\int\int_Dy\sqrt{3}dxdy=

=3\int\int_D ydxdy

כאשר D הוא ההיטל של הגוף S על המישור XY. נציב z=0 (זו המשוואה של המישור XY) במשוואת המישור, כדי למצוא את החיתוך ביניהם:

x+y+0=1

x+y=1

קיבלנו משוואת ישר. מכאן, ההיטל (D) הוא התחום:

תחום משולש במישור XY

התחום D מסומן בפסים ירוקים.

נרצה לפתור את האינטגרל:

3\int dx\int_D ydy=

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה, מתחילים מהאינטגרל הפנימי (הימני) ומעבירים ישר המקביל לציר של משתנה האינטגרציה. בתרגיל שלנו, האינטגרל הפנימי הוא לפי y, ולכן נעביר ישר המקביל לציר y. זה נראה כך:

תחום אינטגרציה למשולש

כעת, נבדוק לאיזה ערך y שווה כשנכנסים לתחום מלמטה ולאיזה ערך y שווה כשיוצאים מהתחום למעלה. אנו נכנסים לתחום בישר y=0, לכן 0 יהיה גבול האינטגרציה התחתון. אנו יוצאים מהתחום במשוואת הישר, לכן, נבודד את y במשוואת הישר:

x+y=1

y=1-x

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

=3\int dx\int_0^{1-x} ydy=

נעבור למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים (של האינטגרל השמאלי), לפי x. שימו לב שגבולות חיצוניים חייבים להיות קבועים, ללא המשתנים x או y. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים, ניקח את הקטע הגדול ביותר בציר של משתנה האינטגרציה, החופף עם התחום D. בתרגיל שלנו, המשתנה הוא x, והקטע הגדול ביותר בציר x, שחופף עם התחום הוא הקטע:

(0,1)

נוסיף את גבולות האינטגרציה לאינטגרל שלנו ונקבל:

=3\int_0^1 dx\int_0^{1-x} ydy=

הערה: אפשר להפוך את הסדר – קודם dy ואז dx – ואז גבולות האינטגרציה ישתנו בהתאם.

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה y.

=3\int_0^1 [\frac{y^2}{2}]_0^{1-x} dx =

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

=3\int_0^1 (\frac{{(1-x)}^2}{2}-\frac{0^2}{2}) dx =

=\frac{3}{2}\int_0^1{(1-x)}^2 dx =

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד x. נפתור אותו:

=\frac{3}{2}[\frac{{(1-x)}^3}{3\cdot (-1)}]_0^1=

=\frac{3}{2}(\frac{{(1-1)}^3}{3\cdot (-1)}-\frac{{(1-0)}^3}{3\cdot (-1)})=

=\frac{3}{2}(\frac{0}{-3}-\frac{1}{-3})=

=\frac{3}{2}(0+\frac{1}{3})=

=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}=

=\frac{1}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה