fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משטחי מסוג שני – חישוב אינטגרל על חרוט – תרגיל 4120

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int_S Pdydz + Qdxdz +Rdxdy

כאשר מתקיים:

P=y-z, Q=z-x, R=x-y

והמשטח S הוא הצד החיצוני של חלק מהחרוט:

z^2=x^2+y^2, 0\leq z\leq 4

תשובה סופית

\int\int_S \vec{F}\hat{n}ds=0

פתרון

אנו צריכים לפתור אינטגרל משטחי מסוג שני, ולכן נשתמש בנוסחה:

\int\int_S Pdydz + Qdxdz +Rdxdy=

=\int\int_S \vec{F}\hat{n}ds

כאשר הווקטור n הוא נורמל למשטח כלפי חוץ (כי מדובר בצד החיצוני של החרוט) והפונקציה הווקטורית F היא הפונקציה:

\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}

או בקיצור:

\vec{F}=(P,Q,R)

נחשב את המכפלה:

\vec{F}\hat{n}

הפונקציה הווקטורית F היא

\vec{F}=(y-z,z-x,x-y)

נמצא את הווקטור n – הנורמל למשטח. לכן, נסדר את משוואת המשטח (החרוט):

z^2=x^2+y^2

x^2+y^2-z^2=0

נגדיר:

h(x,y,z)=x^2+y^2-z^2

וקטור הנורמל n הוא וקטור הנגזרות החלקיות של h. נגזור:

h'_x=2x

h'_y=2y

h'_z=-2z

לכן, הנורמל הוא

\vec{n}=(2x,2y,-2z)

ננרמל את הווקטור – נחשב את אורכו ונחלק את הווקטור בתוצאה:

|\vec{n}|=\sqrt{{(2x)}^2+{(2y)}^2+{(-2z)}^2}=

=\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}=

=2\sqrt{x^2+y^2+z^2}

הווקטור המנורמל הוא

\hat{n}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=

=\frac{(2x,2y,-2z)}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=

=\frac{(x,y,-z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

נחשב את המכפלה:

\vec{F}\cdot \hat{n}=

=(y-z,z-x,x-y)\cdot\frac{(x,y,-z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=

=\frac{(x(y-z)+y(z-x)-z(x-y))}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=

=\frac{(xy-xz+yz-xy-zx+zy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=

=\frac{-2xz+2zy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=

=\frac{2z(-x+y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=

מכיוון שמתקיים:

z^2=x^2+y^2

נציב בתוצאה ונקבל:

=\frac{2\sqrt{x^2+y^2}(y-x)}{\sqrt{x^2+y^2+x^2+y^2}}=

=\frac{2\sqrt{x^2+y^2}(y-x)}{\sqrt{2x^2+2y^2}}=

=\frac{2\sqrt{x^2+y^2}(y-x)}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}=

כלומר, קיבלנו:

\vec{F}\cdot \hat{n}=\frac{2\sqrt{x^2+y^2}(y-x)}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}

כעת, נרצה לעשות את ההמרה של ds למשתנים קרטזיים dxdy. נשתמש בנוסחה:

ds=\sqrt{1+{(z'_x)}^2+{(z'_y)}^2}dxdy

לכן, נבודד את z במשוואת החרוט ונחשב את הנגזרות החלקיות שלו:

z^2=x^2+y^2

מכיוון שנתון:

0\leq z\leq 4

(z חיובי) נקבל:

z=\sqrt{x^2+y^2}

נחשב נגזרות חלקיות:

z'_x=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}

z'_y=\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}

נציב את כל הנתונים באינטגרל, ונקבל:

\int\int_S \vec{F}\hat{n}ds=

=\int\int_D \frac{2\sqrt{x^2+y^2}(y-x)}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\sqrt{1+{(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})}^2+{(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})}^2}dxdy=

=\int\int_D \frac{2\sqrt{x^2+y^2}(y-x)}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}}dxdy=

=\int\int_D \frac{2\sqrt{x^2+y^2}(y-x)}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}}dxdy=

=\int\int_D \frac{2\sqrt{x^2+y^2}(y-x)}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\sqrt{2}dxdy=

=\int\int_D \frac{2\sqrt{x^2+y^2}(y-x)}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy=

=\int\int_D \frac{2\sqrt{x^2+y^2}(y-x)}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy=

=2\int\int_D (y-x)dxdy=

כאשר D הוא ההיטל של הגוף S על המישור XY. נציב z=4 (זו המשוואה של המישור XY) במשוואת החרוט, כדי למצוא את ההיטל של החרוט על המישור:

4^2=x^2+y^2

קיבלנו משוואת מעגל. מכאן, ההיטל (D) הוא מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 4.

לכן כדאי לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות). לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

נציב את המשוואות באינטגרל במקום x ובמקום y. ומכיוון שאנו עוברים לקואורדינטות אחרות, נכפול גם ביעקוביאן.

כשמשתמשים במשוואות לעיל (של מעגל), היעקוביאן הוא

|J|=r

נקבל:

=2\int\int_D (r\sin\theta-r\cos\theta)rdrd\theta=

=2\int\int_D (r^2\sin\theta-r^2\cos\theta)drd\theta=

נמצא את גבולות האינטגרציה של D, כלומר של המעגל:

x^2+y^2=16

נציב את המשוואות לעיל במשוואת המעגל:

{(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2=16

r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta=16

r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=16

r^2=16

r מציין מרחק מהראשית, ולכן תמיד חיובי. מכאן, מקבלים:

r=4

לכן, גבולות האינטגרציה לפי r הם

0\leq r\leq 4

התחום הוא מעגל שלם, ולכן גבולות האינטגרציה לפי תטה הם

0\leq\theta\leq 2\pi

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

=2\int_0^{2\pi} d\theta\int_0^4 (r^2\sin\theta-r^2\cos\theta) dr=

הגענו לאינטגרל מיידי. כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה r.

=2\int_0^{2\pi} [\frac{r^3}{3}\sin\theta-\frac{r^3}{3}\cos\theta]_0^4 d\theta=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=2\int_0^{2\pi} [\frac{4^3}{3}\sin\theta-\frac{4^3}{3}\cos\theta-(\frac{0^3}{3}\sin\theta-\frac{0^3}{3}\cos\theta)] d\theta=

=2\cdot 21\frac{1}{3} \int_0^{2\pi} (\sin\theta-\cos\theta) d\theta=

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד – תטה. נפתור אותו:

=42\frac{2}{3} [-\cos\theta-\sin\theta]_0^{2\pi}=

=42\frac{2}{3}[-\cos(2\pi)-\sin(2\pi)-(-\cos 0-\sin 0)]=

=42\frac{2}{3}[-1-0-(-1-0)]=

=42\frac{2}{3}\cdot 0=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה