תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int\int\int_T z^2 e^{x+y} dxdydz
כאשר T חסום על ידי המשטחים:
x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1
תשובה סופית
פתרון מפורט
נציב את גבולות האינטגרציה באינטגרל ונקבל:
\int\int\int_T (2x-y+3z)dxdydz=
=\int_0^1 dx\int_0^1 dy\int_0^1 z^2 e^{x+y} dz=
נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי z ונקבל:
=\int_0^1 dx\int_0^1 [\frac{z^3}{3}e^{x+y}]_0^1 dy=
נציב את גבולות האינטגרציה במקום z:
=\int_0^1 dx\int_0^1 [(\frac{1^3}{3}e^{x+y})-(\frac{0^3}{3}e^{x+y})] dy=
=\int_0^1 dx\int_0^1 (\frac{1}{3}e^{x+y}) dy=
שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי y, ונקבל:
=\int_0^1 [\frac{1}{3}e^{x+y}]_0^1 dx=
נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:
=\int_0^1 (\frac{1}{3}e^{x+1}-\frac{1}{3}e^{x+0}) dx=
=\int_0^1 \frac{1}{3}e^{x+1}-\frac{1}{3}e^x) dx=
=\frac{1}{3}\int_0^1 (e^{x+1}-e^x) dx=
הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – x. נפתור אותו:
=\frac{1}{3}[e^{x+1}-e^x]_0^1=
נציב את גבולות האינטגרציה:
=\frac{1}{3}(e^{1+1}-e^1)-(e^{0+1}-e^0)=
=\frac{1}{3}(e^{2}-e)-(e-1)=
=\frac{1}{3}(e^{2}-2e+1)
=\frac{1}{3}{(e-1)}^2
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
