fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משולש – חישוב אינטגרל משולש עם גבולות אינטגרציה קבועים – תרגיל 4556

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int\int_T z^2 e^{x+y} dxdydz

כאשר T חסום על ידי המשטחים:

x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1

תשובה סופית


\int\int\int_T z^2 e^{x+y} dxdydz=\frac{1}{3}{(e-1)}^2

פתרון

נציב את גבולות האינטגרציה באינטגרל ונקבל:

\int\int\int_T (2x-y+3z)dxdydz=

=\int_0^1 dx\int_0^1 dy\int_0^1 z^2 e^{x+y} dz=

נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי z ונקבל:

=\int_0^1 dx\int_0^1 [\frac{z^3}{3}e^{x+y}]_0^1 dy=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום z:

=\int_0^1 dx\int_0^1 [(\frac{1^3}{3}e^{x+y})-(\frac{0^3}{3}e^{x+y})] dy=

=\int_0^1 dx\int_0^1 (\frac{1}{3}e^{x+y}) dy=

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי y, ונקבל:

=\int_0^1 [\frac{1}{3}e^{x+y}]_0^1 dx=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

=\int_0^1 (\frac{1}{3}e^{x+1}-\frac{1}{3}e^{x+0}) dx=

=\int_0^1 \frac{1}{3}e^{x+1}-\frac{1}{3}e^x) dx=

=\frac{1}{3}\int_0^1 (e^{x+1}-e^x) dx=

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – x. נפתור אותו:

=\frac{1}{3}[e^{x+1}-e^x]_0^1=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{1}{3}(e^{1+1}-e^1)-(e^{0+1}-e^0)=

=\frac{1}{3}(e^{2}-e)-(e-1)=

=\frac{1}{3}(e^{2}-2e+1)

=\frac{1}{3}{(e-1)}^2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה