fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משולש – חישוב אינטגרל משולש החסום על ידי פונקציות – תרגיל 4566

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int\int_T xy^2z^3 dxdydz

כאשר T חסום על ידי המשטחים:

y=x,x=1,z=0,z=xy

תשובה סופית


\int\int\int_T xy^2z^3 dxdydz=\frac{1}{364}

פתרון

נמצא את גבולות האינטגרציה: במישור XY מתקיים z=0. נציב את זה במשוואות של T ונקבל את המשוואות:

y=x,x=1,0=xy

נפרק את המשוואה השלישית ונקבל:

y=x,x=1,x=0, y=0

מכל המשוואות האלה אפשר ליצור במישור XY את התחום הסגור הזה:

תחום סגור במישור

התחום מסומן בקווים ירוקים, והוא הגבול התחתון של הגוף T במישור XY, כלומר במישור z=0. הגבול העליון הוא המשטח:

z=xy

כלומר, אנו צריכים לחשב את האינטגרל:

\int dx \int dy \int_0^{xy} xy^2z^3 dz

נמצא את גבולות האינטגרציה לפי x ולפי y. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה, נעביר ישר המקביל לציר של משתנה האינטגרציה הפנימי. בתרגיל שלנו, האינטגרל הפנימי הוא לפי y, ולכן נעביר ישר המקביל לציר y. זה נראה כך:

תחום אינטגרציה במישור

כעת, נבדוק לאיזה ערך y שווה כשנכנסים לתחום מלמטה ולאיזה ערך y שווה כשיוצאים מהתחום למעלה. אנו נכנסים לתחום בציר x, כלומר במשוואה y=0, ויוצאים מהתחום בפונקציה:

y=x

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

\int dx \int_0^x dy \int_0^{xy} xy^2z^3 dz

נעבור למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים (של האינטגרל השמאלי), לפי x. שימו לב שגבולות חיצוניים חייבים להיות קבועים, ללא המשתנים x,y או z. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים, ניקח את הקטע הגדול ביותר בציר של משתנה האינטגרציה, החופף עם התחום במישור XY. בתרגיל שלנו, המשתנה הוא x, והקטע הגדול ביותר בציר x, שחופף עם התחום הוא הקטע:

(0,1)

נוסיף את גבולות האינטגרציה לאינטגרל שלנו ונקבל:

\int_0^1 dx \int_0^x dy \int_0^{xy} xy^2z^3 dz=

כעת, כשיש לנו את כל גבולות האינטגרציה, נפתור את האינטגרל המשולש. נתחיל מהאינטגרל הפנימי ביותר (הימני) ונפתור אותו לפי משתנה האינטגרציה שמופיע בו – בתרגיל שלנו, z. שאר המשתנים נחשבים לקבועים בשלב זה.

=\int_0^1 dx \int_0^x [xy^2\frac{z^4}{4}]_0^{xy} dy=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום z:

=\int_0^1 dx \int_0^x [xy^2\frac{{(xy)}^4}{4}-xy^2\frac{0^4}{4}] dy=

=\int_0^1 dx \int_0^x xy^2\frac{x^4y^4}{4} dy=

=\int_0^1 dx \int_0^x \frac{1}{4}x^5y^6 dy=

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי y, ונקבל:

=\int_0^1 \frac{1}{4}[x^5\frac{y^7}{7}]_0^x dx=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

=\int_0^1 \frac{1}{4}(x^5\frac{x^7}{7}-x^5\frac{0^7}{7})dx=

=\int_0^1 \frac{1}{4}\cdot x^5\frac{x^7}{7} dx=

=\int_0^1 \frac{1}{4}\cdot\frac{x^{12}}{7} dx=

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – x. נפתור אותו:

=\frac{1}{4}[\frac{x^{13}}{7\cdot 13}]_0^1=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{1}{4}[\frac{1^{13}}{7\cdot 13}-\frac{0^{13}}{7\cdot 13}]=

=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{7\cdot 13}=

=\frac{1}{364}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה