fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – מכפלה של פונקציות מעריכיות חלקֵי עצרת – תרגיל 5557

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\Pi_{k=1}^n 2^k}{n!}

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{\Pi_{k=1}^n 2^k}{n!}=\infty

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{\Pi_{k=1}^n 2^k}{n!}=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. מכיוון שיש לנו מנה של מכפלות ועצרת, נשתמש בכלל המנה:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\Pi_{k=1}^{n+1} 2^k}{(n+1)!}}{\frac{\Pi_{k=1}^n 2^k}{n!}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{2^1\cdot 2^2\cdot ...\cdot 2^n\cdot 2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^1\cdot 2^2\cdot ...\cdot 2^n}{n!}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2^1\cdot 2^2\cdot ...\cdot 2^n\cdot 2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^1\cdot 2^2\cdot ...\cdot 2^n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}}{n+1}=

טיפ: אפשר להסיק שהתוצאה של גבול זה היא אינסוף, כי פונקציה מעריכית שואפת מהר יותר לאינסוף מפולינום.

נוכיח זאת בעזרת שימוש בכלל המנה שוב:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{2^{n+2}}{n+2}}{\frac{2^{n+1}}{n+1}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+2}}{n+2}\cdot\frac{n+1}{2^{n+1}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} 2\cdot\frac{n+1}{n+2}=

נחלק מונה ומכנה ב-n:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} 2\cdot\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+2}{n}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} 2\cdot\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=2\cdot\frac{1+0}{1+0}=2>1

מכיוון שהתוצאה גדולה מאחד, לפי כלל המנה, מקבלים שהגבול המקורי שווה לאינסוף, כלומר:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}}{n+1}=\infty>1

ושוב, מכיוון שהתוצאה גדולה מאחד, לפי כלל המנה, מקבלים גם כאן שהגבול המקורי שווה לאינסוף, כלומר:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\Pi_{k=1}^n 2^k}{n!}=\infty

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה