fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – מנה של פונקציות מעריכיות ופולינומים – תרגיל 5551

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n^2+3^n}{3^{n+1}+7n^2}

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n^2+3^n}{3^{n+1}+7n^2}=\frac{1}{3}

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\frac{\infty^2+3^\infty}{3^{\infty+1}+7\cdot\infty^2}

קיבלנו ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. יש כאן מנה של פולינומים ופונקציות מעריכיות. נחלק את המונה ואת המכנה בביטוי שמוביל הכי מהר לאינסוף. בתרגיל שלנו, זה הביטוי:

3^{n+1}

נקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n^2+3^n}{3^{n+1}}}{\frac{3^{n+1}+7n^2}{3^{n+1}}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n^2}{3^{n+1}}+\frac{1}{3}}{1+\frac{7n^2}{3^{n+1}}}=

נחשב בנפרד את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{3^{n+1}}=

נשתמש בכלל המנה:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{{(n+1)}^2}{3^{n+2}}}{\frac{n^2}{3^{n+1}}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{{(n+1)}^2}{3^{n+2}}\cdot\frac{3^{n+1}}{n^2}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{3}\cdot {(\frac{n+1}{n})}^2=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{3}\cdot {(1+\frac{1}{n})}^2=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{3}\cdot {(1+\frac{1}{\infty})}^2=

=\frac{1}{3}\cdot {(1+0)}^2=

=\frac{1}{3}<1

מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, לפי כלל המנה, הגבול המקורי שווה לאפס, כלומר:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{3^{n+1}}=0

טיפ: יכולנו לנחש שהתוצאה תהיה אפס, כי פונקציה מעריכית שואפת מהר יותר לאינסוף מפולינום.

באופן דומה, נחשב את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{7n^2}{3^{n+1}}=

שוב נשתמש בכלל המנה:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{7{(n+1)}^2}{3^{n+2}}}{\frac{7n^2}{3^{n+1}}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{7{(n+1)}^2}{3^{n+2}}\cdot\frac{3^{n+1}}{7n^2}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{3}\frac{7{(n+1)}^2}{7n^2}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{3}{(\frac{n+1}{n})}^2=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{3}{(1+\frac{1}{n})}^2=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{3}\cdot{(1+\frac{1}{\infty})}^2=

=\frac{1}{3}\cdot{(1+0)}^2=

=\frac{1}{3}<1

שוב, מכיוון שקיבלנו תוצאה קטנה מאחד, לפי כלל המנה, הגבול המקורי שווה לאפס, כלומר:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{7n^2}{3^{n+1}}=0

טיפ: יכולנו לנחש שהתוצאה תהיה אפס, כי פונקציה מעריכית שואפת מהר יותר לאינסוף מפולינום.

נחזור לתרגיל ונציב בו את התוצאות שקיבלנו:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n^2}{3^{n+1}}+\frac{1}{3}}{1+\frac{7n^2}{3^{n+1}}}=

=\frac{0+\frac{1}{3}}{1+0}=

=\frac{\frac{1}{3}}{1}=

=\frac{1}{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה