fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אי-שוויונים – משוואה ריבועית עם פרמטר – תרגיל 5725

תרגיל 

מצאו עבור אלו ערכים של הפרמטר m משוואת הפרבולה:

y=(m+6)x^2-(3m+2)x+2

נמצאת בציר x או מעליו לכל x.

תשובה סופית


-2\frac{4}{9}\leq m\leq 2

פתרון

נתונה הפרבולה:

y=(m+6)x^2-(3m+2)x+2

רוצים למצוא מתי מתקיים:

y\geq 0

או

(m+6)x^2-(3m+2)x+2\geq 0

נדרוש שני תנאים:

1. הפרבולה “מחייכת” – המקדם של האיבר הריבועי גדול מאפס:

m+6>0

m>-6

2. נדרוש שלמשוואה הריבועית לא יהיה פתרון, כלומר שיתקיים:

\Delta<0

כי במצב כזה כל הפרבולה תמיד מעל ציר x.

המקדמים של המשוואה הריבועית הם

a=m+6, b=3m+2, c=2

נציב בנוסחת הדלתא מנוסחת השורשים ונקבל:

\Delta=b^2-4ac=

={(3m+2)}^2-4\cdot (m+6)\cdot 2=

=9m^2+12m+4-8m-48=

=9m^2+4m-44

ואנו רוצים שיתקיים:

9m^2+4m-44<0

קיבלנו אי-שוויון ריבועי. המקדמים שלו הם

a=9, b=4, c=-44

המקדם של האיבר הריבועי (a) חיובי, ולכן הפרבולה (גרף המשוואה הריבועית) “מחייכת” (=בצורת קערה). מסימן האי-שוויון צריכים לבדוק עבור אלו x-ים הפרבולה שלילית, כלומר מתחת לציר x. נמצא את הפתרונות (=אפסים=שורשים) של המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים. נציב את המקדמים בנוסחה:

m_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 9\cdot (-44)}}{2\cdot 9}=

=\frac{-4\pm \sqrt{1600}}{18}=

=\frac{-4\pm 40}{18}

מכאן, הפתרונות הם

x_1=\frac{-4+ 40}{18}=2

x_2=\frac{-4- 40}{18}=\frac{-44}{18}=-2\frac{4}{9}

מכיוון שהפרבולה שקיבלנו “מחייכת” ואנו מחפשים את התחום שבו היא מתחת לציר x, מקבלים שהתחום המבוקש הוא

-2\frac{4}{9}\leq m\leq 2

כאשר דלתא שווה לאפס, מקבלים את קצות התחום.

נחתוך (קשר “וגם”) את שתי התוצאות (של שני התנאים) ונקבל עדיין שהתשובה הסופית היא

-2\frac{4}{9}\leq m\leq 2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה