fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אי-שוויונים – משוואה עם פרמטר – תרגיל 5723

תרגיל 

מצאו עבור אלו ערכים של הפרמטר m משוואת הישר:

3(2m+x)=2(mx-1)

מתחת לציר x.

תשובה סופית


-\frac{1}{2}<m<\frac{3}{2}

פתרון

נתונה המשוואה:

3(2m+x)=2(mx-1)

נפתח סוגריים:

6m+3x=2mx-2

נבודד את x:

x=\frac{6m+2}{2m-3}

רוצים למצוא מתי הביטוי שקיבלנו קטן מאפס, כלומר:

\frac{6m+2}{2m-3}<0

פתרון אי-שוויון של מנה שווה לפתרון אי-שוויון של מכפלה, לכן במקום לפתור את האי-שוויון שקיבלנו, נפתור את האי-שוויון:

(6m+2)(2m-3)<0

נפתח סוגריים:

12m^2-18m+4m-6<0

12m^2-14m-6<0

נצמצם ב-2:

6m^2-7m-3<0

קיבלנו אי-שוויון ריבועי. המקדמים שלו הם

a=6, b=-7, c=-3

המקדם של האיבר הריבועי (a) חיובי, ולכן הפרבולה (גרף המשוואה הריבועית) “מחייכת” (=בצורת קערה). מסימן האי-שוויון צריכים לבדוק עבור אלו x-ים הפרבולה שלילית, כלומר מתחת לציר x. נמצא את הפתרונות (=אפסים=שורשים) של המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים. נציב את המקדמים בנוסחה:

x_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{{(-7)}^2-4\cdot 6\cdot (-3)}}{2\cdot 6}=

=\frac{7\pm \sqrt{121}}{12}=

=\frac{7\pm 11}{12}

מכאן, הפתרונות הם

x_1=\frac{7+ 11}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}

x_2=\frac{7- 11}{12}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}

מכיוון שהפרבולה שקיבלנו “מחייכת” ואנו מחפשים את התחום שבו היא מתחת לציר x, מקבלים שהתחום המבוקש הוא

-\frac{1}{3}<m<\frac{3}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה