fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תכונות של פונקציות – בדיקת חח”ע וחישוב פונקציה הפוכה – תרגיל 5782

תרגיל 

האם הפונקציה:

y={(\frac{2x-1}{2x+1})}^3

חח”ע (חד-חד-ערכית)? אם כן, חשבו את הפונקציה ההופכית (הפוכה).

תשובה סופית

הפונקציה חח”ע

f^{-1}(x)=\frac{\sqrt[3]{x}+1}{2-2\sqrt[3]{x}}

פתרון

נתונה הפונקציה:

y={(\frac{2x-1}{2x+1})}^3

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא

x\neq -\frac{1}{2}

נבדוק אם הפונקציה חח”ע. לפי הגדרה, פונקציה חח”ע כאשר מתקיים:

f(x_1)=f(x_2)\Longrightarrow x_1=x_2

כלומר, לפי הגדרה, מניחים שמתקיימת המשוואה משמאל (תחילת החץ) וצריך להוכיח בעזרת ההנחה הזו שמתקיימת המשוואה מימין (בסוף החץ). אם הצלחנו, הפונקציה חח”ע. אם לא, הפונקציה לא חח”ע.

לכן, ניקח שתי נקודות שרירותיות (כלשהן) בתחום ההגדרה של הפונקציה (בתרגיל שלנו, כל x):

x_1,x_2

ונניח שמתקיים:

f(x_1)=f(x_2)

נציב את הפונקציה ונקבל:

{(\frac{2x_1-1}{2x_1+1})}^3={(\frac{2x_2-1}{2x_2+1})}^3

מכיוון שהחזקות שוות בשני האגפים, מקבלים שמתקיים:

\frac{2x_1-1}{2x_1+1}=\frac{2x_2-1}{2x_2+1}

(2x_1-1)(2x_2+1)=(2x_2-1)(2x_1+1)

4x_1x_2+2x_1-2x_2-1=4x_2x_1+2x_2-2x_1-1

2x_1-2x_2=2x_2-2x_1

4x_1=4x_2

x_1=x_2

מכאן, הפונקציה חח”ע.

נחשב את הפונקציה ההופכית. ניקח את הפונקציה המקורית ונבודד את המשתנה x, כדי לקבל את x כביטוי של y:

y={(\frac{2x-1}{2x+1})}^3

\sqrt[3]{y}=\frac{2x-1}{2x+1}

\sqrt[3]{y}\cdot (2x+1)=2x-1

2x\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{y}=2x-1

\sqrt[3]{y}+1=2x-2x\sqrt[3]{y}

\sqrt[3]{y}+1=x(2-2\sqrt[3]{y})

x=\frac{\sqrt[3]{y}+1}{2-2\sqrt[3]{y}}

כעת, נהפוך בין המשתנים:

y=\frac{\sqrt[3]{x}+1}{2-2\sqrt[3]{x}}

זהו, מצאנו את הפונקציה ההופכית. אפשר לקרוא לפונקציה כך:

f^{-1}(x)=\frac{\sqrt[3]{x}+1}{2-2\sqrt[3]{x}}

כדי שיהיה ברור שמדובר בפונקציה ההופכית.

תחום ההגדרה של הפונקציה ההופכית הוא

2-2\sqrt[3]{x}\neq 0

1-\sqrt[3]{x}\neq 0

1\neq\sqrt[3]{x}

x\neq 1

הערה: פונקציה והפונקציה ההופכית שלה מתחלפות בתחום ההגדרה והטווח, כלומר תחום ההגדרה של הפונקציה יהיה הטווח של הפונקציה ההופכית, והטווח של הפונקציה יהיה תחום ההגדרה של הפונקציה ההופכית.

בתרגיל שלנו, מקבלים שהטווח של הפונקציה המקורית (=לתחום ההגדרה של הפונקציה ההופכית) הוא

y\neq 1

והטווח של הפונקציה ההופכית (=לתחום ההגדרה של הפונקציה המקורית) הוא

y\neq -\frac{1}{2}

נבדוק את התשובה – נעשה הרכבה של הפונקציה המקורית עם הפונקציה ההופכית שלה, ואם נקבל רק את האיבר x, אז הפונקציה ההופכית שמצאנו בהכרח נכונה. כלומר, פונקציה הופכית היא פונקציה המקיימת:

f(f^{-1}(x))=x

הערה: סדר ההרכבה אינו חשוב:

f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))

נעשה את הבדיקה:

f(f^{-1}(x))=

=f(\frac{\sqrt[3]{x}+1}{2-2\sqrt[3]{x}})=

={(\frac{2\cdot \frac{\sqrt[3]{x}+1}{2-2\sqrt[3]{x}}-1}{2\cdot \frac{\sqrt[3]{x}+1}{2-2\sqrt[3]{x}}+1})}^3=

={(\frac{\frac{\sqrt[3]{x}+1-1+\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[3]{x}}}{\frac{\sqrt[3]{x}+1+1-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[3]{x}}})}^3=

={(\frac{2\sqrt[3]{x}}{2})}^3=

={(\sqrt[3]{x})}^3=

=x

מסקנה – הפונקציה ההופכית שמצאנו נכונה 🙂

כך הפונקציות נראות:

פונקציה ופונקציה הופכית

הפונקציה באדום היא הפונקציה המקורית, הפונקציה בירוק היא הפונקציה ההופכית והפונקציה בכחול היא פונקציית הזהות (y=x).

הערה: הגרף של פונקציה הופכית תמיד יהיה תמונת ראי של הפונקציה המקורית ביחס לפונקציית הזהות (הישר y=x).

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה