fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – חיסור שורשים שלישיים – תרגיל 598

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty}n^\frac{2}{3} (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty}n^\frac{2}{3} (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}) = \frac{1}{3}

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty}\infty^\frac{2}{3} (\sqrt[3]{\infty+1}-\sqrt[3]{\infty})=\infty-\infty

קיבלנו ביטוי שהוא “אינסוף פחות אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נשתמש בשיטת כפל בצמוד. מכיוון שהשורש הוא שלישי, נשתמש בנוסחה הזאת:

a^3-b^3 = (a-b)(a^2 +ab + b^2)

סימן הפלוס בנוסחה אינו טעות. זכרו אותו 🙂

בתרגיל שלנו:

a=\sqrt[3]{n+1}

b=\sqrt[3]{n}

יש לנו a-b באיבר הכללי (=הביטוי בגבול). נכפול בביטוי השני במכפלה שבנוסחה, כלומר נכפול את האיבר הכללי בביטוי:

{(n+1)}^\frac{2}{3}+{n\cdot (n+1)}^\frac{1}{3}+n^\frac{2}{3}

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty}n^\frac{2}{3}\frac{n+1 - n}{{(n+1)}^\frac{2}{3}+{n\cdot (n+1)}^\frac{1}{3}+n^\frac{2}{3}}

הסבר: לאחר הכפל, קיבלנו במונה את הביטוי

a^3-b^3

מהנוסחה. ומכיוון שכפלנו בביטוי כלשהו, חייבים גם לחלק בו, וכך נוצר המכנה.

נסדר את הביטוי שקיבלנו:

 

=\lim _ { n \rightarrow \infty}n^\frac{2}{3}\frac{1}{{(n+1)}^\frac{2}{3}+{n^2+n}^\frac{1}{3}+n^\frac{2}{3}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{n^\frac{2}{3}}{{(n+1)}^\frac{2}{3}+{(n^2+n)}^\frac{1}{3}+n^\frac{2}{3}}=

כעת, נחלק מונה ומכנה בגורם המוביל, כלומר בחזקה הגבוהה ביותר. בתרגיל שלנו, הגורם המוביל הוא:

n^\frac{2}{3}

ונקבל:

=\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{1}{{(1+\frac{1}{n})}^\frac{2}{3}+{(1+\frac{1}{n})}^\frac{1}{3}+1}

נזכור שמתקיים:

=\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0

נחליף את הביטויים באפסים ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{1}{{(1+\frac{1}{n})}^\frac{2}{3}+{(1+\frac{1}{n})}^\frac{1}{3}+1}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{1}{{(1+0)}^\frac{2}{3}+{(1+0)}^\frac{1}{3}+1}=\frac{1}{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

לפוסט הזה יש 2 תגובות

  1. יש לך טעות בנוסחא של A בשלישית פחות B בשלישית, וזה מבלבל

    1. שלום אמנון! תודה שהסבת את תשומת ליבי. הטעות תוקנה

כתיבת תגובה