fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – מנה של עצרת וחזקה n-ית – תרגיל 586

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^n}

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^n} = 0

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\infty}{\infty^\infty}=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו ביטוי שהוא “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נשתמש בכלל הסנדביץ. ראשית, נשים לב שהביטוי תמיד חיובי (זכרו ש-n מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי):

0\leq \frac{n!}{n^n}

אם נצליח להוכיח שהביטוי גם קטן או שווה לאפס, אז מכלל הסנדביץ נקבל שהגבול שווה לאפס. ראשית, נפתח את הביטוי לפי הגדרות עצרת וחזקה:

\frac{n!}{n^n}=

= \frac{1\cdot 2\cdot 3...\cdot n}{n\cdot n\cdot n\cdot ...\cdot n}=

= \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot ...\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n}{n}

נשים לב שכל הגורמים שמכפלה קטנים או שווים לאחד. למעשה, רק הגורם האחרון שווה לאחד, והיתר קטנים מאחד. כפל במספר קטן מאחד מקטין את המספר המקורי. לכן, אם נבטל את הכפל, נקבל ביטוי יותר גדול. לכן, נסיר את רוב הגורמים במכפלה ונשאיר רק את האיבר הראשון. כך נקבל איבר יותר גדול:

\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot ...\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n}{n}\leq \frac{1}{n}\longrightarrow 0

סה”כ קיבלנו:

0\leq \frac{n!}{n^n}\leq 0

ולפי כלל הסנדביץ, זה אומר שהגבול הוא אפס, כלומר

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^n} = 0

טיפ: כאשר האיבר הכללי חיובי לכל n, כדאי לנסות את כלל הסנדביץ, כי צד אחד כבר יש לנו – שהביטוי גדול או שווה לאפס. נותר להוכיח שהצד השני קטן או שווה לאפס. ואז, לפי כלל הסנדביץ, הגבול יהיה אפס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה