חישוב גבול של סדרה – מנה של פולינומים – תרגיל 568

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{3 n^3 -5n+1}{2n^3-8n^2+10}

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{3 n^3 -5n+1}{2n^3-8n^2+10}=\frac{3}{2}

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{3 \infty^3 -5 \infty+1}{2 \infty^3-8 \infty^2+10}=\frac{\infty -\infty}{\infty -\infty}

קיבלנו גם ‘אינסוף פחות אינסוף’ וגם ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. בכל מקרה, זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נחלק את המונה והמכנה בחזקה הגבוהה ביותר. בתרגיל שלנו שני הפולינומים (במונה ובמכנה) ממעלה שלישית, כלומר האיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר יהיה (בשניהם):

n^3

לכן נחלק את המונה והמכנה בביטוי זה. שימו לב שאנו מחלקים באיבר בלבד ללא מקדמים כלשהם. לאחר חלוקה נקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3 n^3 -5n+1}{n^3}}{\frac{2n^3-8n^2+10}{n^3}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{3-\frac{5}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{2-\frac{8}{n}+\frac{10}{n^3}}=

כעת, נשים לב שמתקיים:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5}{n^2}=0

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3}=0

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{8}{n}=0

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{10}{n^3}=0

לכן, נחליף את הביטויים באפסים, ונקבל:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{3-0+0}{2-0+0}=\frac{3}{2}

טיפ: כשהאיבר הכללי של הסדרה מורכב ממנה של פולינומים בעלי אותה מעלה, התשובה תהיה חילוק המקדמים של האיברים המובילים בפולינומים במונה ובמכנה. 

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו
הפוסט הבאRead more articles

כתיבת תגובה