מקרי אי-ודאות – מה ברשימה ומה לא

להלן רשימת מקרי אי-ודאות:

\frac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

\frac{0}{0}

1^\infty

0^0

\infty^0

0 \cdot \infty

הערה חשובה: כאשר מופיע אפס ברשימה לעיל, הכוונה לביטוי השואף לאפס, וכאשר מופיע אחד ברשימה, הכוונה לביטוי השואף לאחד.

נעשה סדר – נסמן: שואף לאפס = “0” ושואף לאחד = “1”. 

ואז מתקיים

\frac{0}{"0"}=0

אולם הביטוי

\frac{"0"}{"0"}

הוא מקרה אי-ודאות. והביטוי

\frac{"0"}{0}

לא מוגדר מתמטית.

המשותף לכולם ברשימה הוא שאינם מובילים תמיד לתוצאה אחת ומדויקת (כמו למשל מספר סופי שתמיד שווה לערכו), אלא עלולים להוביל לתוצאות שונות.

כאשר מקבלים אחד מהביטויים ברשימה, צריך לצאת ממצב זה בעזרת מניפולציות מתמטיות (למשל כפל בצמוד) ולהגיע לתוצאה מוגדרת.

להלן רשימה של ביטויים שאינם מקרי אי-ודאות:

• עבור מספר a סופי (שלילי, חיובי או אפס):

\frac{a}{\infty}=0

\frac{a}{- \infty}=0

וכן,

\frac{a}{0}=\infty

כאשר באפס הכוונה לביטוי השואף לאפס (אפס מוחלט במכנה אינו מוגדר). כמו כן, כללי מינוס\פלוס יפעלו גם כאן, כלומר מינוס חלקֵי פלוס שווה מינוס וכו’.

• חיבור אינסוף:

\infty + \infty = \infty

שימו לב שבסימן מינוס נקבל מקרה אי-ודאות (ברשימה לעיל).

• כפל אינסוף:

\infty \cdot \infty = \infty

שימו לב שכללי מינוס\פלוס בכפל נכונים גם עם אינסוף, כלומר

\infty \cdot (- \infty) = - \infty

• חזקה על אינסוף:

\sqrt{\infty} = \infty

שימו לב שזה נכון לכל חזקה חיובית, כולל אינסוף, כלומר

\infty^{\infty} = \infty

• אינסוף בחזקה:

כאשר a סופי גדול מאחד, כלומר

a > 1

מתקיים:

a^{\infty} = \infty

a^{- \infty} = 0

כאשר a בין אפס לאחד, כלומר

0< a < 1

מתקיים:

a^{\infty} =0

a^{- \infty} =\infty

שימו לב שאם a שווה לאחד (מוחלט) אז הביטויים יהיו שווים לאחד, כי אחד (מוחלט, ולא שואף לאחד) בחזקת כל דבר ייתן אחד. כמו כן, אם a שווה לאפס מוחלט – התוצאה תמיד תהיה אפס.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות המשתמשים במקרי אי-ודאות

הסבר בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂