fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

פונקציה הומוגנית – חישוב ביטוי עם נגזרות חלקיות ממעלה שלישית של פונקציה הומוגנית – תרגיל 7115

תרגיל 

נתון שפונקציה

f(x,y)

הומוגנית מדרגה 4 ובעלת נגזרות חלקיות המקיימות:

f'_{x}(-4,-6)=-16

f''_{xy}(6,9)=9

חשבו את

f'''_{xxx}(4,6)+f'''_{xxy}(6,9)

f'''_{xxx}(4,6)+f'''_{xxy}(6,9)=3

פתרון

נתון שפונקציה f הומוגנית מסדר 4, לכן הנגזרות שלה הומוגניות מסדר 3, הנגזרות השניות – מסדר 2 והנגזרות השלישיות – מסדר 1.

נחשב את האיבר הראשון:

f'''_{xxx}(6,9)=

=f'''_{xxx}(\frac{3}{2}\cdot 4, \frac{3}{2}\cdot 6)=

נשתמש בהגדרת הומוגניות עם סדר ההומוגניות המתאים לנגזרת שלישית ונקבל:

=\frac{3}{2}\cdot f'''_{xxx}(4,6)

כעת, נשתמש במשפט אוילר עם נגזרת שנייה ונקבל:

6\cdot f'''_{xxx}(6,9)+9\cdot f'''_{xxy}(6,9)=2\cdot f''_{xx}(6,9)

נציב את התוצאה שקיבלנו לעיל:

6\cdot \frac{3}{2}\cdot f'''_{xxx}(4,6)+9\cdot f'''_{xxy}(6,9)=2\cdot f''_{xx}(6,9)

נשתמש שוב במשפט אוילר. הפעם, עם נגזרת ראשונה ונקבל:

6\cdot f''_{xx}(6,9) + 9\cdot f''_{xy}(6,9) = 3\cdot f'_x(6,9)

נציב את הנתון בשאלה ונקבל:

6\cdot f''_{xx}(6,9) + 9\cdot 9= 3\cdot f'_x(6,9)

6\cdot f''_{xx}(6,9) + 81= 3\cdot f'_x(6,9)

נחשב את הנגזרת שמופיעה באגף ימין:

f'_x(6,9)=

=f'_x(-\frac{3}{2}\cdot (-4),-\frac{3}{2}\cdot (-6))=

מכיוון שפונקציה f הומוגנית מסדר 4, הנגזרת הומוגנית מסדר 3. כך מקבלים:

=(-\frac{3}{2})^3\cdot f'_x(-4,-6)=

נציב את הנתון בשאלה ונקבל:

=(-\frac{3}{2})^3\cdot (-16)=

=54

נחזור למשוואה שקיבלנו לעיל:

6\cdot f''_{xx}(6,9) + 81= 3\cdot f'_x(6,9)

נציב במשוואה את התוצאה שקיבלנו:

6\cdot f''_{xx}(6,9) + 81= 3\cdot 54

6\cdot f''_{xx}(6,9) + 81= 162

נבודד את הנגזרת השנייה:

6\cdot f''_{xx}(6,9)= 162-81

6\cdot f''_{xx}(6,9)= 81

f''_{xx}(6,9)= \frac{81}{6}

f''_{xx}(6,9)= 13\frac{1}{2}

נחזור למשוואה הראשונה שחישבנו:

6\cdot \frac{3}{2}\cdot f'''_{xxx}(4,6)+9\cdot f'''_{xxy}(6,9)=2\cdot f''_{xx}(6,9)

נציב במשוואה את התוצאה:

6\cdot \frac{3}{2}\cdot f'''_{xxx}(4,6)+9\cdot f'''_{xxy}(6,9)=2\cdot 13\frac{1}{2}

9\cdot f'''_{xxx}(4,6)+9\cdot f'''_{xxy}(6,9)=27

נחלק את המשוואה ב-9:

f'''_{xxx}(4,6)+f'''_{xxy}(6,9)=\frac{27}{9}

f'''_{xxx}(4,6)+f'''_{xxy}(6,9)=3

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?