הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

פונקציה הומוגנית – חישוב נגזרות חלקיות בנקודה לפי נתונים – תרגיל 7096

תרגיל 

נתון שהפונקציה

f(t,s)

גזירה פעמיים והומוגנית מדרגה 4. ונתונה הפונקציה:

u(x,y)=\frac{x^2}{y^3-x^3}-\frac{1}{xy}\cdot f''_{xx}(xy,e^{-\frac{x}{y}}(x^2+y^2))

חשבו את

u'_x(1,-1)-u'_y(1,-1)

אם ידוע שמתקיים:

f''_{xx}(-1,2e)=-\frac{1}{4}

רמז: אם

f=g\pm h

ופונקציה g הומוגנית מדרגה m ופונקציה h הומוגנית מדרגה n, אז

x\cdot f'_x+y\cdot f'_y=m\cdot g\pm n\cdot h

u'_x(1,-1)-u'_y(1,-1)=0

פתרון מפורט

נשתמש במשפט אוילר בנקודה x=1, y=-1 ונקבל:

u'_x(1,-1)-u'_y(1,-1)=n\cdot u(1,-1)

נחשב את ערך הפונקציה u בנקודה:

u(1,-1)=\frac{1}{-1-1}+1\cdot f''_{xx}(-1,2e)=

=-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}

כעת, נחשב את דרגת ההומוגניות של u.

לפי הגדרה, פונקציה הומוגנית מדרגה r כאשר מתקיים:

f(tx,ty)=t^rf(x,y)

עבור קבוע t.

נבדוק את הפונקציה u לפי ההגדרה:

u(tx,ty)=

=\frac{(tx)^2}{(ty)^3-(tx)^3}-\frac{1}{tx\cdot ty}\cdot f''_{xx}(tx\cdot ty,e^{-\frac{tx}{ty}}((tx)^2+(ty)^2))=

=\frac{t^2x^2}{t^3y^3-t^3x^3}-\frac{1}{tx\cdot ty}\cdot f''_{xx}(t^2xy,e^{-\frac{x}{y}}(t^2(x^2+y^2)))=

=\frac{1}{t}\cdot \frac{x^2}{y^3-x^3}-\frac{1}{t^2xy}\cdot f''_{xx}(t^2xy,e^{-\frac{x}{y}}(t^2(x^2+y^2)))=

f הומוגנית מדרגה 4, לכן הנגזרת השנייה שלה הומוגנית מדרגה 2. כך נקבל:

=\frac{1}{t}\cdot \frac{x^2}{y^3-x^3}-\frac{1}{t^2xy}\cdot {(t^2)}^2 f''_{xx}(xy,e^{-\frac{x}{y}}(x^2+y^2))=

=\frac{1}{t}\cdot \frac{x^2}{y^3-x^3}-t^2\cdot \frac{1}{xy}\cdot f''_{xx}(xy,e^{-\frac{x}{y}}(x^2+y^2))=

קיבלנו שפונקציה u היא הפרש של שתי פונקציות הומוגניות מדרגות שונות:

g(tx,ty)=\frac{1}{t}\cdot \frac{x^2}{y^3-x^3}

מכאן, הפונקציה g הומוגנית מדרגה 1-.

h(tx,ty)=t^2\cdot \frac{1}{xy}\cdot f''_{xx}(xy,e^{-\frac{x}{y}}(x^2+y^2))

מכאן, הפונקציה h הומוגנית מדרגה 2.

נשתמש ברמז ונקבל:

u'_x(1,-1)-u'_y(1,-1)=

=(-1)\cdot g(1,-1)-2\cdot h(1,-1)=

=-1\cdot (-\frac{1}{2})-2\cdot \frac{1}{4}=

=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה