תרגיל
נתון שהפונקציה
f(t,s)
גזירה פעמיים והומוגנית מדרגה 4. ונתונה הפונקציה:
u(x,y)=\frac{x^2}{y^3-x^3}-\frac{1}{xy}\cdot f''_{xx}(xy,e^{-\frac{x}{y}}(x^2+y^2))
חשבו את
u'_x(1,-1)-u'_y(1,-1)
אם ידוע שמתקיים:
f''_{xx}(-1,2e)=-\frac{1}{4}
רמז: אם
f=g\pm h
ופונקציה g הומוגנית מדרגה m ופונקציה h הומוגנית מדרגה n, אז
x\cdot f'_x+y\cdot f'_y=m\cdot g\pm n\cdot h
פתרון מפורט
נשתמש במשפט אוילר בנקודה x=1, y=-1 ונקבל:
u'_x(1,-1)-u'_y(1,-1)=n\cdot u(1,-1)
נחשב את ערך הפונקציה u בנקודה:
u(1,-1)=\frac{1}{-1-1}+1\cdot f''_{xx}(-1,2e)=
=-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}
כעת, נחשב את דרגת ההומוגניות של u.
לפי הגדרה, פונקציה הומוגנית מדרגה r כאשר מתקיים:
f(tx,ty)=t^rf(x,y)
עבור קבוע t.
נבדוק את הפונקציה u לפי ההגדרה:
u(tx,ty)=
=\frac{(tx)^2}{(ty)^3-(tx)^3}-\frac{1}{tx\cdot ty}\cdot f''_{xx}(tx\cdot ty,e^{-\frac{tx}{ty}}((tx)^2+(ty)^2))=
=\frac{t^2x^2}{t^3y^3-t^3x^3}-\frac{1}{tx\cdot ty}\cdot f''_{xx}(t^2xy,e^{-\frac{x}{y}}(t^2(x^2+y^2)))=
=\frac{1}{t}\cdot \frac{x^2}{y^3-x^3}-\frac{1}{t^2xy}\cdot f''_{xx}(t^2xy,e^{-\frac{x}{y}}(t^2(x^2+y^2)))=
f הומוגנית מדרגה 4, לכן הנגזרת השנייה שלה הומוגנית מדרגה 2. כך נקבל:
=\frac{1}{t}\cdot \frac{x^2}{y^3-x^3}-\frac{1}{t^2xy}\cdot {(t^2)}^2 f''_{xx}(xy,e^{-\frac{x}{y}}(x^2+y^2))=
=\frac{1}{t}\cdot \frac{x^2}{y^3-x^3}-t^2\cdot \frac{1}{xy}\cdot f''_{xx}(xy,e^{-\frac{x}{y}}(x^2+y^2))=
קיבלנו שפונקציה u היא הפרש של שתי פונקציות הומוגניות מדרגות שונות:
g(tx,ty)=\frac{1}{t}\cdot \frac{x^2}{y^3-x^3}
מכאן, הפונקציה g הומוגנית מדרגה 1-.
h(tx,ty)=t^2\cdot \frac{1}{xy}\cdot f''_{xx}(xy,e^{-\frac{x}{y}}(x^2+y^2))
מכאן, הפונקציה h הומוגנית מדרגה 2.
נשתמש ברמז ונקבל:
u'_x(1,-1)-u'_y(1,-1)=
=(-1)\cdot g(1,-1)-2\cdot h(1,-1)=
=-1\cdot (-\frac{1}{2})-2\cdot \frac{1}{4}=
=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
