חדו"א אונליין » פתרונות חדוא » חומר תיאורטי » פונקציה הומוגנית – הגדרה ומשפט אוילר

פונקציה הומוגנית – הגדרה ומשפט אוילר

תוכן עניינים:

תהי פונקציה

$f(x,y)$

k מספר שלם.

הפונקציה f נקראת פונקציה הומוגנית מדרגה (או מסדר) k אם מתקיים

$f(tx,ty)=t^k\cdot f(x,y)$

לכל t שונה מאפס.

הערה: אפשר להתאים את ההגדרה לפונקציות במשתנה אחד או בשלושה משתנים ויותר.

תהי f פונקציה רציפה וגזירה. אז הפונקציה f הומוגנית מדרגה (או מסדר) k אם ורק אם

$x\cdot f'_x+y\cdot f'_y=k\cdot f$

הערות:

1. אפשר להתאים את משפט אוילר לפונקציות במשתנה אחד או בשלושה משתנים ויותר.

2. אפשר להשתמש במשפט גם עם פונקציית הנגזרת. יש לזכור שאם פונקציה f הומוגנית מדרגה k, אז הנגזרות החלקיות שלה הומוגניות מדרגה k-1. כך מקבלים שמתקיים:

$x\cdot f''_{xx}+y\cdot f''_{xy}=(k-1)\cdot f'_x$

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו