fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – חיסור שורשים שלישיים – תרגיל 760

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty}\sqrt[3]{2n+4}-\sqrt[3]{2n}

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty}\sqrt[3]{2n+4}-\sqrt[3]{2n}=0

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty}\sqrt[3]{2n+4}-\sqrt[3]{2n}=\infty-\infty

קיבלנו ביטוי שהוא “אינסוף פחות אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נשתמש בשיטת כפל בצמוד. מכיוון שהשורש הוא שלישי, נשתמש בנוסחה הזאת:

a^3-b^3 = (a-b)(a^2 +ab - b^2)

סימן הפלוס בנוסחה אינו טעות. זכרו אותו 🙂

בתרגיל שלנו:

a=\sqrt[3]{2n +4}

b=\sqrt[3]{2n}

יש לנו a-b באיבר הכללי (=הביטוי בגבול). נכפול בביטוי השני במכפלה שבנוסחה, כלומר נכפול בביטוי:

{(2n+4)}^\frac{2}{3}+\sqrt[3]{2n +4}\sqrt[3]{2n}+{(2n)}^\frac{2}{3}

כמובן, אם כפלנו בביטוי כלשהו, חייבים גם לחלק באותו ביטוי, כדי לא לשנות את הביטוי המקורי. לאחר הכפל והחלוקה מקבלים:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{(2n+4)-2n}{{(2n+4)}^\frac{2}{3}+\sqrt[3]{2n +4}\sqrt[3]{2n}+{(2n)}^\frac{2}{3}}

הסבר: לאחר הכפל, קיבלנו במונה את הביטוי

a^3-b^3

מהנוסחה. ומכיוון שכפלנו בביטוי כלשהו, חייבים גם לחלק בו, וכך נוצר המכנה.

נסדר את הביטוי שקיבלנו ונציב שוב:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{4}{{(2n+4)}^\frac{2}{3}+\sqrt[3]{2n +4}\sqrt[3]{2n}+{(2n)}^\frac{2}{3}}=

=\frac{4}{\infty}=0

פתרון מפורט בוידאו


עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה