fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – מנה של פולינום ופונקציה מעריכית – תרגיל 764

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{{(n^2+1)}^{98}}{4^n}

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{{(n^2+1)}^{98}}{4^n}=0

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{{(n^2+1)}^{98}}{4^n}=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. האיבר הכללי מכיל חזקות, לכן ננסה את כלל המנה. בתרגיל שלנו,

a_n = \frac{{(n^2+1)}^{98}}{4^n}

נחשב את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{{({(n+1)}^2+1)}^{98}}{4^{n+1}}}{\frac{{(n^2+1)}^{98}}{4^n}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{4}{{(\frac{{(n+1)}^2+1}{n^2+1})}^{98}}

נחלק את המונה ואת המכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר. כאן שני הפולינומים, גם במונה וגם במכנה, ממעלה 2. לכן, נחלק את המונה ואת המכנה באיבר:

n^2

ונקבל:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{4}{{(\frac{\frac{{(n+1)}^2+1}{n^2}}{\frac{n^2+1}{n^2}})}^{98}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{4}{{(\frac{\frac{{(n+1)}^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}})}^{98}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{4}{{(\frac{{(\frac{n+1}{n})}^2+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}})}^{98}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{4}{{(\frac{{(1+\frac{1}{n})}^2+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}})}^{98}}

נשים לב שמתקיים:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}=0

נציב שוב והפעם נקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{4}{{(\frac{{(1+\frac{1}{n})}^2+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}})}^{98}}=

=\frac{1}{4}{{(\frac{{(1+0)}^2+0}{1+0})}^{98}}=

=\frac{1}{4}<1

תוצאת הגבול קטנה מאחת, ולפי כלל המנה, ניתן להסיק שהגבול המקורי שווה לאפס, כלומר:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{{(n^2+1)}^{98}}{4^n}=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה