fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – מנה של פולינומים ופונקציות טריגונומטריות – תרגיל 716

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{2 n^4 \arccos {(\frac{1}{n})}+n^2\sin{(n)}}{7n^4+3n^2+5}

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{2 n^4 \arccos {(\frac{1}{n})}+n^2\sin{(n)}}{7n^4+3n^2+5}=\frac{\pi}{7}

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{2 n^4 \arccos {(\frac{1}{n})}+n^2\sin{(n)}}{7n^4+3n^2+5}=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’ וזה מקרה אי-ודאות. וכן, לפונקציית sin אין גבול באינסוף. לכן, נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נפרק את הגבול לסכום של שני גבולות:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2 n^4 \arccos {(\frac{1}{n})}+n^2\sin{(n)}}{7n^4+3n^2+5}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2 n^4}{7n^4+3n^2+5}\cdot \arccos{(\frac{1}{n})}+

+\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{7n^4+3n^2+5}\cdot \sin{(n)}

נחשב את הגבול הראשון. יש בו מנה של פולינומים. אם ננסה להציב שוב עכשיו, נקבל עדיין ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. לכן, נחלק את המונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר (ללא מקדמים). כלומר, נחלק באיבר:

n^4

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2}{7+\frac{3}{n^2}+\frac{5}{n^4}}\cdot \arccos {(\frac{1}{n})}

מכיוון שמתקיים:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{3}{n^2}=0

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5}{n^4}=0

נציב ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2}{7+\frac{3}{n^2}+\frac{5}{n^4}}\cdot \arccos {(\frac{1}{n})}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{2}{7+0+0}\cdot \arccos(0)=

=\frac{2}{7}\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{7}

כעת, נחשב את הגבול השני. גם כאן יש מנה של פולינומים. לכן, נחלק את המונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר (ללא מקדמים). כלומר, נחלק באיבר:

n^4

ונקבל:

=\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n^2}}{7+\frac{3}{n^2}+\frac{5}{n^4}}

מכיוון שמתקיים:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}=0

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{3}{n^2}=0

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5}{n^4}=0

מקבלים:

=\lim _ { n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n^2}}{7+\frac{3}{n^2}+\frac{5}{n^4}}=0

שימו לב שלפונקציית sin אין גבול באינסוף, אבל היא חסומה, ולכן אפשר להשתמש כאן במשפט הזה:

כאשר יש מכפלה של פונקציה חסומה ופונקציה השואפת לאפס – המכפלה שואפת לאפס גם כן.

כאן קיבלנו ביטוי השואף לאפס כפול פונקציית sin, שהיא חסומה. לכן, סה”כ אפשר להסיק:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{7n^4+3n^2+5}\cdot \sin{(n)}=0

מכאן, התשובה הסופית היא:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2 n^4}{7n^4+3n^2+5}\cdot \arccos {(\frac{1}{n})}+

+\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{7n^4+3n^2+5}\cdot \sin{(n)}=

=\frac{\pi}{7} +0=\frac{\pi}{7}

טיפ: כאשר רואים בביטוי פונקציות חסומות ידועות, כגון sin, cos ועוד, כדאי לזכור את המשפט הזה ולנסות אותו. 

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה