fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – מנה של פולינומים בחזקת n – תרגיל 689

תרגיל 

נתון:

a_n = {(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty}a_n

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty} a_n=0

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty}{(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נשתמש בכלל השורש (הראשון). לשם כך, נוסיף שורש n-י על כל הביטוי ונבדוק מה קורה באינסוף.

\lim _ { n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{{(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2}=

קיבלנו מנה של פולינומים. אם ננסה להציב שוב עכשיו, נקבל עדיין ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. לכן, נחלק את מונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר. בתרגיל שלנו, נחלק באיבר:

n^3

ונקבל:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5}{n^2} +3}{7 + \frac{2}{n^3}}

מכיוון שמתקיים:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5}{n^2}=0

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2}{n^3}=0

נציב שוב ונקבל:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5}{n^2} +3}{7 + \frac{2}{n^3}}=\frac{3}{7}<1

לכן, לפי כלל השורש, מקבלים:

\lim _ { n \rightarrow \infty}a_n = 0

הסבר: שימו לב שבכלל השורש הראשון אנו מוסיפים שורש n-י על כל הביטוי ומתוצאת הגבול הזה אנו מסיקים את תוצאת הגבול של הביטוי המקורי.

טיפ: כלל השורש הראשון טוב בביטויים בעלי חזקה n-ית, כי אז השורש שנוסיף יבטל את החזקה, ונקבל גבול קל יותר לחישוב.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה