fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – מנה של פונקציה מעריכית ו-n בחזקת n – תרגיל 677

תרגיל 

נתון:

a_n = \frac{n^n}{3^{1+2n}}

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty}a_n

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty} a_n=\infty

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\infty^\infty}{3^{1+2\infty}}={(\frac{\infty}{\infty})}^0

קיבלנו ‘אינסוף בחזקת שואף לאפס’. זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נשתמש בכלל השורש הראשון. לשם כך, נוסיף שורש n-י על כל הביטוי ונבדוק מה קורה באינסוף.

\lim _ { n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^n}{3^{1+2n}}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n}{3^{\frac{1+2n}{n}}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n}{3^{\frac{1}{n}+2}}

נשים לב שמתקיים:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0

נציב שוב אינסוף ונקבל:

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n}{3^{\frac{1}{n}+2}} = \frac{\infty}{3^2}=\infty

כלומר, קיבלנו שמתקיים:

\lim _ { n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=\infty>1

לכן, לפי כלל השורש, מקבלים:

\lim _ { n \rightarrow \infty}a_n = \infty

הסבר: שימו לב שבכלל השורש הראשון אנו מוסיפים שורש n-י על כל הביטוי ומתוצאת הגבול הזה אנו מסיקים את תוצאת הגבול של הביטוי המקורי.

טיפ: כלל השורש הראשון טוב בביטויים בעלי חזקה n-ית, כי אז השורש שנוסיף יבטל את החזקה, ונקבל גבול קל יותר לחישוב.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה