fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – מנה של פונקציות מעריכיות – תרגיל 653

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{10^n}{3^{n+\sqrt{n}}}

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{10^n}{3^{n+\sqrt{n}}}=\infty

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{10^\infty}{3^{\infty+\sqrt{\infty}}}=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו ביטוי שהוא “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נשתמש בכלל הסנדביץ. מצד אחד, נגדיל את המכנה ואז נקבל ביטוי יותר קטן:

\frac{10^n}{3^{2n}} \leq \frac{10^n}{3^{n+\sqrt{n}}}

מצד שני, נבטל את המכנה ונקבל ביטוי יותר גדול:

\frac{10^n}{3^{n+\sqrt{n}}} \leq10^n

סה”כ קיבלנו:

\frac{10^n}{3^{2n}} \leq \frac{10^n}{3^{n+\sqrt{n}}} \leq10^n

כעת נבדוק מה קורה לביטויים בקצוות כששואפים לאינסוף:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{10^n}{3^{2n}} = \lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{10^n}{9^n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} {(\frac{10}{9})}^n=\infty

כמו כן,

\lim _ { n \rightarrow \infty} 10^n = \infty

קיבלנו שכאשר n שואף לאינסוף:

\infty \leq \frac{10^n}{3^{n+\sqrt{n}}} \leq \infty

ולפי כלל הסנדביץ, זה אומר שהגבול של הביטוי באמצע גם הוא אינסוף, כלומר

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{10^n}{3^{n+\sqrt{n}}} = \infty

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה