fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – מנה של פולינום ועצרת בתוך שורש n-י – תרגיל 645

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\infty}{\sqrt[\infty]{\infty !}} = \infty^0

קיבלנו ‘אינסוף בחזקת שואף לאפס’. זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. בתרגיל שלנו,

a_n = \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

ראשית, נסדר שכל האיבר הכללי יהיה בתוך שורש n-י:

a_n = \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\frac{\sqrt[n]{n^n}}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}

כעת, נשתמש בכלל השורש (השני)נחשב את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{{(n+1)}^{(n+1)}}{{(n+1)}!}}{\frac{n^n}{n!}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{{(n+1)}^{(n+1)}}{{(n+1)}!}\cdot \frac{n!}{n^n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{{(n+1)}^n \cdot (n+1)}{n^n \cdot (n+1)}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} {(\frac{n+1}{n})}^n=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{n})}^n=e

התוצאה מתקבלת מהגבול הידוע של אוילר.

שימו לב שבכלל השורש השני, התוצאה של החישוב היא התוצאה הסופית של הגבול ואנו לא בודקים אם היא קטנה או גדולה מאחד כמו בכלל השורש הראשון.

פתרון מפורט בוידאו


עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה