fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של סדרה – מנה של פולינום ופונקציה מעריכית – תרגיל 638

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{4^n}

תשובה סופית


\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{4^n}=0

פתרון

דבר ראשון, נציב:

n = \infty

ונקבל:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\infty^2}{4^\infty}=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נשתמש בכלל המנה. בתרגיל שלנו,

a_n = \frac{n^2}{4^n}

נחשב את הגבול:

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{{(n+1)}^2}{4^{(n+1)}}}{\frac{n^2}{4^n}}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{{(n+1)}^2}{4^{(n+1)}}\cdot \frac{4^n}{n^2}=

=\lim _ { n \rightarrow \infty} {(\frac{n+1}{n})}^2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4} < 1

קיבלנו תוצאה קטנה מאחד. לפי כלל המנה, נקבל שהגבול של הסדרה שלנו שווה לאפס. כלומר,

\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{n!}=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה